Kezdőlap


Feladat:	1434. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/május, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletrendszerek, Logaritmusos egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: 1434. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $a = 0$ , akkor vagy $x = 0$ és $y$ tetszőleges szám, vagy $y = 0$ és $x$ tetszőleges. Mindkét esetben csak akkor van megoldása a rendszernek, ha $b$ is $0$ , és ekkor végtelen sok megoldás van. Hasonlóan $b = 0$ , $a \neq 0$ esetében sincs határozott megoldás. A továbbiakban feltesszük, hogy $a$ , $b$ egyike sem $0$ , ekkor sem $x$ , sem $y$ nem lehet $0$ .
$x$ -et kiküszöbölhetnénk, ha kitevője a két egyenletben egyenlő volna. Ezt viszont elérhetjük, ha egyenleteinket hatványozzuk, hiszen így $x$ kitevője (1) egymás utáni hatványaiban $2, 4, 6, 8, 10, 12, ...$ lenne, (2) hatványaiban $5, 10, 15, ...$ , és $c$ két sorozatnak van közös eleme, a $10$ .
A (1) egyenletet négyzetre, a (2)-t ötödik hatványra emelve

\begin{matrix} x^{10} y^{34} & = a^{2} \\ x^{10} y^{35} & = b^{5}, \end{matrix}

és az utóbbit az előbbivel elosztva

\begin{matrix} y = \frac{b^{5}}{a^{2}} \end{matrix}

(3)

x

meghatározása céljára hasonlóan (1)-et a 7., (2)-t a 17. hatványra emelve, majd osztva

\begin{matrix} \frac{a^{7}}{b^{17}} = \frac{x^{35} y^{119}}{x^{34} y^{119}} = x . \end{matrix}

(4)

Visszahelyettesítve (3)-at és (4)-et (1)-be és (2)-be, látjuk, hogy megkaptuk a megoldást.

Megjegyzések. 1. Matematikai szempontból szebb lett volna

x

-et úgy számítani, hogy (3)-at (1) és (2) valamelyikébe helyettesítve képezünk

x

-re egyismeretlenes egyenletet. Ha (2)-be írjuk be:

\begin{matrix} x^{2} = b {(\frac{1}{y})}^{7} = \frac{a^{14}}{b^{34}}, x = \pm \frac{a^{7}}{b^{17}}, \end{matrix}

és az ellenőrző behelyettesítés adja, hogy csak a felső előjel felel meg.
Ha már szóba jöttek előjelek, jó lesz kimondani, hogy (3) és (4) az

a

és

b

előjelére való bármilyen korlátozás nélkül érvényes (csak

0

nem lehet egyikük sem). (3) szerint

y

ugyanolyan előjelű, mint

b

‐ ez már a (2)-ből is könnyen látható ‐, (4) szerint pedig

x

akkor és csak akkor pozitív, ha

a

és

b

egyező előjelűek, viszont negatív, ha ellentétes előjelűek. (Az utóbbi (1)-ből is kimondható:

x > 0

, ha

a

és

y

egyező jelűek.)
2. Többen rámutattak, hogy ugyanezzel a gondolatmenettel oldható meg az

\begin{matrix} x^{c} y^{d} = a, x^{e} y^{f} = b \end{matrix}

egyenletrendszer, ahol

a \neq 0

b \neq 0

, és

c, d, e, f

olyan természetes számok, amelyekre

| c f - d e | = 1

. Ez helyes, de általában való kimondása így mégsem célszerű, inkább mindjárt tetszőleges

c f - d e = g \neq 0

esetére a következő alakban:

\begin{matrix} | x | = \sqrt[^{g}]{| \frac{a^{f}}{b^{d}} |} | y | = \sqrt[^{g}]{| \frac{b^{c}}{a^{e}} |}, \end{matrix}

és ‐ páros

g

esetén ‐ az előjelek külön állapítandók meg.
3. Akik már megismerkedtek a logaritmus fogalmával és azonosságaival, azok ennek felhasználásával is megoldhatják az egyenletrendszert. Logaritmálva az (1) és (2) egyenletet, az

\begin{matrix} 5 lg x + 17 lg y & = lg a \\ 2 lg x + 7 lg y & = lg b \end{matrix}

egyenletrendszerhez jutunk, ami

lg x

-re és

lg y

-ra elsőfokú egyenletrendszer. Most azonban fel kell tennünk, hogy

a

és

b

mindegyike pozitív szám, amiből következik, hogy

x

és

y

is pozitív.
(Ha

a

és

b

közt negatív is van, akkor

a

és

b

abszolút értékéből

x

és

y

abszolút értékét számíthatjuk ki, előjelüket pedig a fentebbi meggondolással állapíthatjuk meg.)