A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha , akkor vagy és tetszőleges szám, vagy és tetszőleges. Mindkét esetben csak akkor van megoldása a rendszernek, ha is , és ekkor végtelen sok megoldás van. Hasonlóan , esetében sincs határozott megoldás. A továbbiakban feltesszük, hogy , egyike sem , ekkor sem , sem nem lehet . -et kiküszöbölhetnénk, ha kitevője a két egyenletben egyenlő volna. Ezt viszont elérhetjük, ha egyenleteinket hatványozzuk, hiszen így kitevője (1) egymás utáni hatványaiban lenne, (2) hatványaiban , és két sorozatnak van közös eleme, a . A (1) egyenletet négyzetre, a (2)-t ötödik hatványra emelve
és az utóbbit az előbbivel elosztva meghatározása céljára hasonlóan (1)-et a 7., (2)-t a 17. hatványra emelve, majd osztva | | (4) |
Visszahelyettesítve (3)-at és (4)-et (1)-be és (2)-be, látjuk, hogy megkaptuk a megoldást. Megjegyzések. 1. Matematikai szempontból szebb lett volna -et úgy számítani, hogy (3)-at (1) és (2) valamelyikébe helyettesítve képezünk -re egyismeretlenes egyenletet. Ha (2)-be írjuk be: | | és az ellenőrző behelyettesítés adja, hogy csak a felső előjel felel meg. Ha már szóba jöttek előjelek, jó lesz kimondani, hogy (3) és (4) az és előjelére való bármilyen korlátozás nélkül érvényes (csak nem lehet egyikük sem). (3) szerint ugyanolyan előjelű, mint ‐ ez már a (2)-ből is könnyen látható ‐, (4) szerint pedig akkor és csak akkor pozitív, ha és egyező előjelűek, viszont negatív, ha ellentétes előjelűek. (Az utóbbi (1)-ből is kimondható: , ha és egyező jelűek.) 2. Többen rámutattak, hogy ugyanezzel a gondolatmenettel oldható meg az egyenletrendszer, ahol , , és olyan természetes számok, amelyekre . Ez helyes, de általában való kimondása így mégsem célszerű, inkább mindjárt tetszőleges esetére a következő alakban: | | és ‐ páros esetén ‐ az előjelek külön állapítandók meg. 3. Akik már megismerkedtek a logaritmus fogalmával és azonosságaival, azok ennek felhasználásával is megoldhatják az egyenletrendszert. Logaritmálva az (1) és (2) egyenletet, az
egyenletrendszerhez jutunk, ami -re és -ra elsőfokú egyenletrendszer. Most azonban fel kell tennünk, hogy és mindegyike pozitív szám, amiből következik, hogy és is pozitív. (Ha és közt negatív is van, akkor és abszolút értékéből és abszolút értékét számíthatjuk ki, előjelüket pedig a fentebbi meggondolással állapíthatjuk meg.) |