Kezdőlap


Feladat:	1433. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/november, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: 1433. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A természetes számok közül a 4-nek az utódja a definíció b) része szerint 0, ez nem természetes szám, így további leszármazottja nincs, a 4-re tehát az állítás szó szerint nem igaz. Ez azonban feloldódik, ha így értelmezzük a feladatot: a leírt módon minden számból el lehet jutni ‐ mégpedig egyértelműen, hiszen minden természetes szám egyet és csak egyet teljesít az a)‐c) föltételek közül ‐ a 4-hez, és a 4-ből ,,indulva'' viszont már helyben is vagyunk. Ekkor pedig az állítás egyenértékű azzal, hogy a 0 is minden természetes számnak leszármazottja. Ezt bizonyítjuk annak megmutatásával, hogy minden $N$ számnak (tovább számon kizárólag természetes számot értünk) van nála kisebb, az a)‐c) lépések véges számú alkalmazásával adódó leszármazottja. Így ugyanis véges számú lépéssel jutunk el $N$ -ből a 0-hoz, hiszen az $N$ -nél kisebb számok száma véges (és véges számú szám összege véges).
Állításunk nyilvánvaló, ha $N$ utolsó számjegye 0 vagy 4-es, ekkor közvetlen leszármazottja, az utóda éppen 0,1 $N$ , illetőleg kisebb is 0,1 $N$ -nél, hiszen a 4 elhagyása két lépésben is gondolható: 0-t írunk a helyére ‐ már ez is csökkentés ‐ és ezt hagyjuk el.
$N$ -nek minden más végződése esetén csak a c) lépésnek egyszeri vagy többszöri alkalmazása után kapunk 0-ra vagy 4-esre végződő leszármazottat, de a megduplázások száma ‐ a 9-esre végződő $N$ -ek kivételével ‐ legföljebb 3, így a 9-es végződéstől eltekintve minden szám negyedik leszármazottja kisebb, mint $N \cdot 2^{3} / 10 = 0, 8 N$ , és ez megfelel állításunknak.
Valóban, ha $N$ utolsó jegye 5-ös vagy 7-es vagy 2-es, akkor utóda 0-ra, illetve 4-esre végződik, tehát második leszármazottja nem nagyobb, mint 0,2 $N$ . Minden más végződésből csak a 4-es végződést érhetjük el (az első csökkentésig): az 1-es és 6-os végződésből egy duplázással 2-es végű, 2 duplázással 4-es végű számot kapunk, és hasonlóan a 3-as és 8-as végűekből 3-szori, 2-vel való szorzással.
A hátralevő 9-esre végződő $N$ -ből indulva, első ízben 4-szeri duplázás után (8-as, 6-os, 2-es végződésű leszármazott után) alkalmazhatjuk a csökkentő b) lépést, így az 5. leszármazottról, $N_{5}$ -ről az eddigiek mintájára csak ezt mondhatjuk: kisebb, mint $N \cdot 2^{4} / 10 = 1, 6 N$ .
Mondhatunk azonban egy új megállapítást is: $N = 10 k + 9$ esetén $N_{5}$ utolsó jegye páros. Ugyanis $N_{4} = 2^{4} N$ osztható 16-tal és 4-esre végződik, így

\begin{matrix} N_{5} = \frac{2^{4} N - 4}{10} = \frac{2 (4 N - 1)}{5}, \end{matrix}

egész szám, tehát páros.
Ha mármost

N_{5}

végén 0, 4, 2 vagy 6 áll, akkor a fentiek szerint c)-nek legföljebb kétszeri alkalmazása után vagy a b) vagy az a) lépés végzendő, tehát legkésőbb a 3-mal későbbi, a 8. leszármazottig kapunk egy olyat, amely kisebb, mint

0, 4 \cdot 1, 6 N = 0, 64 N

, és ez megfelel állításunknak.
Ha viszont

N_{5}

végén 8-as áll, akkor az eddigieket ismételve a 4-gyel későbbi leszármazottra,

N_{9}

re egyrészt

N_{9} < 0, 8

N_{5} < 0, 8 \cdot 1, 6 N = 1, 28 N

, másrészt

N_{9}

utolsó jegye páros.
Legutóbbi meggondolásunk legföljebb kétszeri megismétlésével most már célba érünk. Ha

N_{9}

végén nem 8-as áll, akkor

N_{12} < 0, 4

N_{9} < 0, 512 N

, ha pedig 8-as, akkor

N_{13} < 0, 8

N_{9} < 1, 024 N

és

N_{13}

utolsó jegye páros, így legkésőbb a 17. lépésig már olyat kapunk, mely kisebb

0, 8 \cdot 1, 024 N

-nél, ami kisebb, mint

N

.
Összefoglalva: a 9-esre végződő számoknak legkésőbb a 17. leszármazottja kisebb náluk, minden más végződésű számnak pedig legkésőbb a 4. leszármazottja. Ezt akartuk bizonyítani, ebből az előrebocsátottak szerint következik a feladat állításának az a következménye, hogy minden természetes szám leszármazottainak sorozata 0-val végződik.

Megjegyzések. 1. A sorszámra talált 17-es felső korlát nem csökkenthető. Van ugyanis olyan szám, melynek az első, nála kisebb leszármazottja a 17. sorszámú, ilyen az

N = 6249

.
Könnyű utánaszámolni, hogy minden

k

természetes számra a 6250

k - 1

szintén ilyen tulajdonságú.

k = 25

esetén a 4-nek a sorszáma a leszármazottak közt: 54.
2. Lényegében ugyanezek a tények voltak alapjai az NSZK 1973. évi matematikai versenye egyik feladatának: 4-ből kiindulva az a)‐c) alakítások megfordításával minden természetes számhoz el lehet jutni.