|
Feladat: |
1431. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Schvarcz Tibor , Szecsői Sándor |
Füzet: |
1973/március,
114 - 115. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Eltolás, Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Középvonal, Magasságpont, Paralelogrammák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/szeptember: 1431. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az háromszög magasságvonala merőleges -re, tehát párhuzamos -vel. Ugyanígy , tehát az négyszög paralelogramma (az ábra két változatában hegyesszög, illetve tompaszög).
Jelöljük az és paralelogramma középpontját -val, illetve -val. felezi -t, felezi -t, így az háromszög -mel pár-huzamos középvonala, tehát . Szerkesztésüknél fogva és rajta vannak az mint átmérő fölötti (vagyis középpontú) Thalész‐körön, így , és mivel az -et is felezi, azért az egyenlő szárú háromszög magassága. Ebből | |
Eszerint a szakasz kiszámítható az és egyenesek közti szög felhasználása nélkül, amennyiben . Ha , akkor nincs az adatoknak és a feladatnak eleget tevő paralelogramma. Szecsői Sándor (Budapest, Berzenyi D. Gimn., II. o.t.) II. megoldás. Toljuk el az szakaszt úgy, hogy végpontja -be jusson, és legyen ekkor új helyzete , így egyenlő -val és párhuzamos is vele. Mivel az magasság merőleges -re, azért az háromszögben -nél derékszög van: Láttuk másrészt az I. megoldásban, hogy paralelogramma, így . Szerkesztésünknél fogva párhuzamos -vel, tehát merőleges -re. Ezek szerint az derékszögű háromszög egybevágó az háromszöggel (tükrös egybevágóság), ezért , és ezt (1)-be beírva Schvarcz Tibor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o. t.) Megjegyzések. 1. A feladat kérdésének megválaszolásához nem volt szükség az , egyenesek közti, megadott szögre. A megjelölt forrásban ez nem is szerepelt, a szerkesztő bizottság kapcsolta a feladathoz avégett, hogy ezáltal mintegy közelebbről meghatározza a szóban forgó paralelogrammát, hiszen egy paralelogrammát 3 független adat határoz meg. Ajánljuk az olvasónak, végezze el a paralelogramma megszerkesztését és a két hosszúságadat felhasználásával. 2. Paralelogrammánk szögét -val jelölve , és (merőleges szárú szögek), eszerint az és háromszögek hasonlók, így pedig . Innen is kiadódik, hogy a paralelogramma csak esetében létezik. |
|