Feladat:	1430. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ponácz György
Füzet:	1973/február, 70. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Kocka, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/szeptember: 1430. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Legyen a kocka egy lapja $ABCD$, az ennek csúcsaiból kiinduló harmadik élek $AE$, $BF$, $CG$, $DH$ és a kiszemelt csúcs $A$. A többi $7$ csúcshoz vezető félegyenesek közül $3$ a kockának éle: $AB$, $AD$ és $AE$, $3$ lapbeli átló: $AC$, $AF$, $AH$, a hetedik, $AG$ pedig testátló. A mondott $3$ él az $AG$ körüli ${120}^{\circ }$-os forgatásokkal egymásba vihető át, és ugyanez érvényes a mondott lapbeli átlókra is, ezért elég lesz megállapítani azoknak a szögeknek a nagyságát, melyeknek egyik szára $AB$ vagy $AC$. $AB$-vel $AD$ és $AE$ derékszöget zárnak be, ugyanígy az $AH$ átló is, az $AC$, $AF$ átlók pedig ${45}^{\circ }$-os szöget, mert pl. $ABF$ egyenlő szárú derékszögű háromszög. Végül az $ABG$ derékszögű háromszögben, $AB$-t egységnek véve, $BG=\sqrt[]{2}$ tehát a $BAG$ szög tangense $\sqrt[]{2}$. (Ez a szög nyilván nem ${45}^{\circ }$.) $AC$-nek az élekkel bezárt szögeit az előzőkből már tudjuk. A $CAF$ szög ${60}^{\circ }$, mert a $CAF$ háromszög egyenlő oldalú (lap-átlók). A $CAG$ szög pedig akkora, amelynek tangense $1/\sqrt[]{2}$, hiszen a $CAG$ háromszög egybevágó az előbbi $FAG$ háromszöggel. Eszerint ez különbözik az eddigiektől, mert $\text{tg }{60}^{\circ }=\sqrt[]{3}$ Ezek szerint $5$ különböző szög lép fel az $A$-ból a többi csúcsokhoz húzott $7$ félegyenesből képezett párok között: ${90}^{\circ }\mathrm{,}{60}^{\circ }\mathrm{,}{45}^{\circ }$ és azok, amelyeknek tangense $\sqrt[]{2}$, ill. $1/\sqrt[]{2}$. (Értékük fok-egységekben ${54}^{\circ }44\text{'}$, ill. ${35}^{\circ }16\text{'}$.)    Ponácz György (Székesfehérvár, József A. Gimn. II. o. t.)