Kezdőlap


Feladat:	1428. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrahám György
Füzet:	1973/március, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/szeptember: 1428. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két egymás utáni négyzetszám vagy ugyanannyi jegyű, vagy a nagyobbik 1-gyel több jegyű. Könnyű látni, hogy az utóbbi típusú párt alkot az előtte álló négyzetszámmal $10^{2}$ , $100^{2}$ , $1000^{2}$ , mert rendre ez a legkisebb 3-, 5-, ill. 7-jegyű (egész) szám. Továbbá a négyzettáblázatból kiolvasható, hogy a 2-, 4-, 6-jegyű négyzetszámok legkisebbike rendre $4^{2}$ , $32^{2}$ , $317^{2}$ . Ezekből válaszunk előkészítésére a következő táblázatot állítjuk össze:

\begin{matrix} Hány & Mitől & Meddig & Hány & A felhasznált & jegyek száma \\ jegyűek & db & ebben a & eddig \\ csoportban & összesen \\ 1 & 1^{2} & 3^{2} & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 4^{2} & 9^{2} & 6 & 12 & 15 \\ 3 & 10^{2} & 31^{2} & 22 & 66 & 81 \\ 4 & 32^{2} & 99^{2} & 68 & 272 & 353 \\ 5 & 100^{2} & 316^{2} & 217 & 1085 & 1438 \\ 6 & 317^{2} & 999^{2} & 683 & 4098 & 5536 \\ 7 & 1000^{2} \end{matrix}

Látjuk, hogy a 100-as sorszámú számjegy a 4 jegyűekkel betöltött

100 - 81 = 19

-edik helyen áll. Eddig leírtunk

19 : 4 = 4

teljes négyzetszámot,

32^{2}

-től

35^{2}

-ig, s mivel az osztás maradéka 3, azért a 100-adik helyre

36^{2} = 1296

-nak a harmadik jegye, a 9-es kerül.
Hasonlóan az 1000-edik jegy az 5-jegyű négyzetszámok kezdetétől számítva a

1000 - 353 = 647

-edik,

647 = 5 \cdot 129 + 2

, tehát az 5-jegyű négyzetek közül a 130-adiknak a 2. jegyét kell megállapítanunk. Az alapszám

99 + 130 = 229

, négyzetének 2. jegye a táblázat kerekített adatából is megállapítható: 2-es (

2, 29^{2} =

= 5, 244

).
Ugyanígy

10 000 - 5536 = 4464 = 7 \cdot 637 + 5

, és

{(999 + 638)}^{2} = 1637^{2} =

= 2 679 769

-nek 5. jegye 7-es. Mindezek szerint az (1) szám 100, 1000 és 10 000 sorszámú számjegye rendre 9-es, 2-es, 7-es.
Ábrahám György (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Az (1) szám számjegyei nem mutatnak szakaszosságot, a szám irracionális. Még ismertebb példa ilyenre, ha a négyzetek helyett maguknak az egymás utáni alapszámoknak, a természetes számoknak a jegyeit írjuk be az egymás utáni tizedes jegyek szerepére.