A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A vizsgálandó ötszög -os szögei közül kettőnek a csúcsa mindenesetre szomszédos, jelöljük ezeket -val és -vel, éspedig úgy, hogy másik szomszédja, , az egyik -os szög csúcsa legyen. Ekkor feladatunk a további két szög- és az oldalmértékszámok szerepének megállapítása. A harmadik derékszög csúcsa vagy , vagy . Mindenesetre a és oldalegyenesek párhuzamosak, mert mindkettő merőleges -re, és a konvexség alapján köztük van. I. Ha , tehát , akkor még , és köztük van (1. ábra).
1. ábra Az , egyenesek metszéspontját -fel jelölve a szakaszon, pedig az szakaszon van, tehát hiszen téglalap. Továbbá egyenlő szárú derékszögű háromszög, mert -nél és -nél levő külső szögei egyenlők, ezért | | (2) | vagyis ötszögünk négy oldalából alakított két oldalpár különbsége egyenlő. Nem szerepelhet e négy oldal mértékszámai közt a , az adatok közti egyetlen irracionális mértékszám, különben a (2) egyenlőség egyik oldalán irracionális szám állna, a másikon racionális szám, ami lehetetlen. Így csak az (1)-ben nem szereplő oldal hossza lehet, vagyis a háromszög átfogójáé. Ezért , ennélfogva (1)-re tekintettel és . A méretek szerepének ezen elosztása nyilvánvalóan megoldását adja a feladatnak, az ötszög egy 2 egységnyi oldalú négyzetből áll elő, egyik sarkának a mondott méretek szerinti levágásával. II. Ha pedig , és így , akkor húzzunk párhuzamost -n át -vel, és messe ez a egyenest -ben, az egyenest -ban (2. ábra).
2. ábra Így a háromszögben -nél derékszög van, ezért -nél levő szöge nem lehet , tehát a szakaszon van; és , ; ugyanígy az szakaszon van és . Ezek szerint , egyenlő szárú derékszögű háromszögek, és Itt sem , sem hossza nem lehet . Különben ugyanis a jobb oldal egyik tagja 1, azaz racionális szám lenne, a másik tag irracionális, és a bal oldal hossza is csak racionális számok közül volna választható. Eszerint a (3)-ból átszorzással adódó egyenlőség jobb oldala egész, az egyenlőség csak mellett teljesülhet, tehát , ez pedig a további 4 szakaszból csak úgy állítható elő, ha mindkét tagja 1; végül . Ezt a megoldást is egyértelműen kaptuk, más megoldása nincs a feladatnak. Megjegyzések. 1. A fentiekben azt használtuk fel, hogy egy racionális és egy irracionális szám összege nem lehet racionális szám. 2. Ötszögünk konvex voltát tulajdonképpen már a szögek adott értéke biztosította, de felhasználtuk, hogy egy konvex sokszög bármelyik oldalegyeneséhez képest az egyik parton helyezkedik el. Meg lehet mutatni, hogy ez az értelmezés egyenértékű a tankönyv fogalomalkotásával. Horvay K.‐Pálmay L. Matematika a gimn. I. o. számára. Tankönyvkiadó Budapest, 1966. 199. old. |