Kezdőlap


Feladat:	1422. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Éltető László
Füzet:	1973/január, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/május: 1422. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt használjuk fel, hogy az adatként és a kérdésben szereplő pozitív egész számok törzstényezős felbontásában csak 3-féle törzsszám lép föl: $2$ , $5$ és $11$ , ugyanis $55 = 5 \cdot 11$ , $50 = 2 \cdot 5^{2}$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ , $2662 = 2 \cdot 11^{3}$ , $10 = 2 \cdot 5$ és $250 = 2 \cdot 5^{3}$ . E három törzsszám logaritmusainak aránya ‐ ami bármely (1-től különböző, pozitív) alapra vonatkozóan ugyanaz ‐ az adott két logaritmusból kiszámítható. ‐ Jelöljük az adatokat rendre $a$ -val, $b$ -vel, így 10-alapú logaritmusokkal kifejezve

\begin{matrix} log_{50} 55 = a = \frac{lg 55}{lg 50} = \frac{lg 5 + lg 11}{lg 2 + 2 lg 5}, log_{55} 20 = b = \frac{lg 20}{lg 55} = \frac{2 lg 2 + lg 5}{lg 5 + lg 11} . \end{matrix}

Innen kellő rendezéssel

\begin{matrix} a \frac{lg 2}{lg 11} + (2 a - 1) \frac{lg 5}{lg 11} = 1, \\ 2 \frac{lg 2}{lg 11} + (1 - b) \frac{lg 5}{lg 11} = b, \\ \frac{lg 2}{lg 11} = \frac{2 a b - 1}{3 a + a b - 2}, \frac{lg 5}{lg 11} = \frac{2 - a b}{3 a + a b - 2}, \end{matrix}

vagyis van olyan

k

arányossági tényező, hogy

\begin{matrix} lg 2 = k (2 a b - 1), lg 5 = k (2 - a b), lg 11 = k (3 a + a b - 2) . \end{matrix}

Mármost ezeket felhasználva

k

kiesik:

\begin{matrix} x = log_{250} 2662 \sqrt[]{10} = \frac{lg 2662 + \frac{1}{2} lg 10}{lg 250} = \frac{\frac{3}{2} lg 2 + 3 lg 11 + \frac{1}{2} lg 5}{lg 2 + 3 lg 5} = \\ = \frac{3 (2 a b - 1) + 6 (3 a + a b - 2) + (2 - a b)}{2 (2 a b - 1) + 6 (2 - a b)} = \frac{18 a + 11 a b - 13}{10 - 2 a b}, \end{matrix}

és ezzel a számítást befejeztük. A fölhasznált nevezők egyike sem

0

, ugyanis

a > 1

, mert

55 > 50 > 1

b

0

és

1

közé esik, mert

1 < 20 < 55

, és

a b = (lg 20) : (lg 50)

, így

0 < a b < 1

, ennélfogva

3 a + a b - 2 > 1

, és

10 - 2 a b > 8

Éltető László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Az

a

a b

x

számok tízes számrendszerbeli kiszámításának nem volna értelme, hiszen

a

és

a b

csak logaritmustáblázat alapján volna számítható, tehát

x

is csak úgy. Márpedig táblázat birtokában

2662 \sqrt[]{10}

és

250

tízes alapú logaritmusa direkt is kiírható és hányadosuk rövidebben megadná

x

-et. Legfőképpen pedig azért nem volna értelme, mert nem az volt a feladat.