Kezdőlap


Feladat:	1420. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/december, 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/május: 1420. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C \cdot A$ részletszorzat $B$ -vel kezdődik és háromjegyű. Ezért egyrészt $A \neq 1$ , másrészt $A < 3$ , hiszen $A ≧ 3$ esetén $A^{2} > 8$ , ezért már négyjegyű lenne a szorzat, tehát $A$ értéke csak 2 lehet.
Így $200 ≦ A B C ≦ 277$ , ezért $400 ≦ A \cdot A B C = B \cdot D ≦ 576$ , tehát $B$ értéke 4 vagy 5 (ezeket a számításokat szintén a nyolcas számrendszerben értjük). Ezt ismét fölhasználva $240 ≦ A B C ≦ 277$ és $500 ≦ 2 \cdot A B C = B . D ≦ 576$ tehát $B$ értéke csak 5 lehet.
Most a második részletszorzatot így becsülhetjük :

\begin{matrix} B \cdot A B C = 5 \cdot \bar{25 C} < 260 = 1560, \end{matrix}

tehát

E = 1

. Így pedig

C > B

, mert a

C \cdot A B C

részletszorzat kezdő számjegye 2-es ; ezért

C

értéke csak 6 vagy 7 lehet.
Végül a második részletszorzat utolsó jegye

C

, tehát a

B \cdot C

szorzat

C

-re végződik, a

B \cdot C - C = 4 C

különbség osztható 8-cal,

C

páros, értéke csak 6 lehet.
Az eddigiek szerint csak a

256 \times 256

szorzásról lehet szó, de ez csak akkor megoldása a feladatnak, ha a további ‐ föl nem használt ‐ közlések is teljesülnek. Ebben a szorzásban az első és a harmadik részletszorzat 4-esre végződik, ami megfelel

D

-ként, mert eddigi meggondolásunkban nem lépett fel 4-es, másrészt 256 és

256^{2} = 73 024

a nyolcas rendszer mindegyik számjegyét pontosan egyszer használja fel. Ennélfogva az

A B C

szám szerepére 256 alkalmas és csak ez alkalmas.

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 & 5 & 6 & \times & 2 & 5 & 6 \\ 5 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 4 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 4 \\ 7 & 3 & 1 & 0 & 4 \end{matrix} \end{matrix}

Megjegyzés. Hosszabb meggondolással egyedül abból a követelésből is kihozható eredményünk, hogy az

A B C

szám és négyzete együttvéve a 0, 1, 2,

...

, 7 jegyek mindegyikét egyszer és csak egyszer tartalmazza, mert a 8-as számrendszerben egyedül ennek a számnak van meg ez a tulajdonsága.