Kezdőlap


Feladat:	1418. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/április, 154 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengely körüli forgatás, Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Háromszögek nevezetes tételei, Magasságvonal, Hossz, kerület, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: 1418. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Először méretek nélkül jellemezzük az $A B D$ háromszögnek azokat a helyzeteit, amelyekben a $C D$ távolság a lehetséges legkisebb, ill. legnagyobb értékét veszi föl. A háromszög forgása közben $D$ kört ír le, melynek $S_{D}$ síkja merőleges az $A B$ tengelyre, középpontja $D$ -nek a tengelyen levő $D_{0}$ vetülete (a háromszög $D$ -ből húzott magasságának talppontja), és sugara a $D_{0} D = m_{d}$ magasság.

1. ábra

Ez a pálya két pontban metszi az

A B C

háromszög síkját, egy, az

A B

egyenes

C

-t tartalmazó partján levő

D^{*}

pontban és ennek

D_{0}

-ra való

D^{* *}

tükörképében. Azt állítjuk, hogy

C D^{*}

a távolság keresett minimumát,

C D^{* *}

a maximumát adja, más szóval: akkor a legkisebb a

C D

távolság, ha az

A B D

félsíknak az

A B C

félsíkhoz való

φ

hajlásszöge

0^{\circ}

(egybeesnek), a legnagyobb pedig

φ = 180^{\circ}

esetén, ‐ a félsíkokat úgy értve, hogy határoló egyenesük az

A B

forgástengely (1. ábra).
Vetítsük ugyanis

D

mozgását a

C

-n átmenő,

A B

-re merőleges

S_{C}

síkra (más szóval: nézzük a forgást az

A B

egyenes irányából (2. ábra alsó fele).

2. ábra

D'

vetület szintén egy

m_{d}

sugarú

k

körön mozog, mert

S_{C}

párhuzamos

S_{D}

-vel,

k

középpontja

D_{0}

-nak a vetülete, ami egyszersmind

A B

döféspontja

S_{C}

-n, tehát azonos

C

-nek

A B

-n levő

C_{0}

vetületével. A

C D D'

háromszögben a

C D' D

szög derékszög, a

D' D

befogó állandó, mert egyenlő

S_{C}

és

S_{D}

távolságával,

C_{0} D_{0}

-lal, ennélfogva a

C D

átfogó akkor a legkisebb, ill. a legnagyobb, ha

C D

a legkisebb, ill. a legnagyobb. Márpedig

k

-nak

C

-höz legközelebbi pontját a

C_{0} C

félegyenes jelöli ki, és ez éppen

D^{*}

-nak

S_{C}

-n levő

D^{*'}

vetülete,

k

-nak

C

-től legtávolabbi pontját pedig

C C_{0}

nak

C_{0}

-on túli meghosszabbítása metszi ki, ami

D^{* *}

-nak

D^{* *'}

vetülete.
Amennyiben

S_{C}

azonos

S_{D}

-vel, vagyis

C_{0}

azonos

D_{0}

-lal, úgy a vetítésre nincs szükség.
Nem volna sem minimuma, sem maximuma

C D

-nek, ha

C

azonos volna

C_{0}

-lal, vagy

D

azonos volna

D_{0}

lal, ilyen esetben azonban az

A B C

, ill. az

A B D

háromszög egyenes szakasszá elfajult volna; ettől eltekinthetünk.
2. Legyenek háromszögeink oldalai:

A B = c

B C = a

C A = b

B D = a_{1}

D A = b_{1}

. Tekintsük továbbá az

A

-ból

B

-be mutató irányt pozitívnak és legyen előjellel együtt

A C_{0} = x

(vagyis negatív, ha

C_{0}

A B

-nek

A

-n túli meghosszabbításán van, 3. ábra).

3. ábra

Ekkor hasonlóan

C_{0} B = c - x

(negatív, ha

C_{0}

B

-n túli meghosszabbításon van). Az

A C C_{0}

B C C_{0}

derékszögű háromszög

A B

-n fekvő befogója mindenképpen

| x |

, ill.

| c - x |

, így a

C C_{0}

magasságra

\begin{matrix} C C_{0}^{2} = b^{2} - x^{2} = a^{2} - {(c - x)}^{2}, amiből \\ x = A C_{0} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 c} . & (1) \end{matrix}

Ez a kifejezés

A C_{0}

-t,

A C

-nek

A B

-n levő vetületét valóban előjelével együtt adja meg:

x

negatív, ha

a

,,elég nagy'', vagyis az

A

-ban

A B

-re emelt merőleges elválasztja

C

-t és

B

-t. (Ha pedig éppen átmegy

C

-n, akkor

B A C ∢ = 90^{\circ}

és

x

számlálója

0

. Hasonlóan látható, hogy lehet

x > c

, azaz

c - x < 0

is.
(1) alapján kifejezhető az oldalakkal a

C_{0} C = m_{c}

magasság is.
(1)-be

a

és

b

helyére

a_{1}

-et, ill.

b_{1}

-et írva ugyanígy

A D

előjeles hosszát kapjuk, és ugyanezen betűcserékkel

m_{c}

kifejezése

D_{0} D = m_{d}

kifejezésévé alakul át az

A B D

háromszög oldalaival. E két magasságot négyzetgyökvonás adja meg, ezért abszolút értékben értendők.
Ezekből az 1. pontban mondottak szerint a

C D D'

háromszög

A B

-vel párhuzamos befogóját, valamint

S_{C}

-beli befogóját a minimum esetére abszolút értékben kapjuk:

\begin{matrix} D' D = C_{0} D_{0} = | A D_{0} - A C_{0} |, \\ C D^{*'} = | C_{0} C - C_{0} D^{*'} | = | m_{c} - m_{d} |, \end{matrix}

végül az

S_{C}

-beli befogó a maximum esetében

\begin{matrix} m_{c} + m_{d} . \end{matrix}

Ezekből

C D

legkisebb és legnagyobb értékének négyzete Pitagorasz tétele alapján számítható, tehát abszolút érték jelet nem tartalmazó kifejezésként adódik az

a

b

c

a_{1}

b_{1}

méretekből.
Kifejezhetjük a magasságokat az oldalakkal az ún. Heron-képlet^{$^{*}$} alapján is.

^{$^{*}$}Lásd az iskolai Függvénytáblázatok 331.21. képletét.