A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1371. gyakorlat szövege a következő volt: Az háromszög magasságvonalainak talppontjai rendre , , . Adva van (helyzet szerint) az , a és a háromszög magasságpontja. Szerkesszük meg a háromszöget. ‐ A megoldás menete a következő volt. Jelöljük az adott magasságpontokat ( csúcsait) rendre -vel, -vel és -vel, a háromszögbe írható kör középpontját -val, a háromszöghöz hozzáírható körök középpontjait -val, -vel és -vel. Tükrözzük az pontot a szakasz felezőpontjára, a kapott pontot jelöljük -vel, és az , , pontokat tükrözzük az szakasz felezőpontjára: a kapott három tükörkép lesz a keresett háromszög három csúcsa. További megoldásokat kapunk, ha helyére az , , valamelyikét választjuk, és a választott pont helyére -t tesszük. A jelen feladatunk megoldásának az alapgondolata az lesz, hogy megvizsgáljuk, milyen következményekkel jár ez a szerepcsere. Válasszuk mondjuk -t helyett: -nak a szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe legyen , és az szakasz felezőpontja legyen . Ekkor a keresett háromszög csúcsai az , , pontoknak az -ra vonatkozó tükörképei lesznek.
1. ábra A és pontok szerkesztése szerint | | amint ezt már az 1371. gyakorlat megoldása során megjegyeztük. Hasonlóan látható, hogy | | tehát | |
Ismeretes, hogy egy tetszőleges pontnak az -ra vonatkozó tükörképét úgy is megkapjuk, ha előbb eltoljuk a vektorral, majd tükrözzük a kapott pontot -re. Alkalmazzuk ezt az eljárást az , , , pontokra: toljuk el először őket a vektorral, és a kapott pontokat tükrözzük -re. Az eltolás -t -ba, -t és -t pedig azokba az , pontokba viszi, amelyekre (2. ábra) tehát amelyeket -nak az , szakaszok felezőpontjára való tükrözésével is megkaphatunk.
2. ábra Mivel az háromszög magasságpontja, azért , rajta van az háromszög köré írható körön, vagyis az és háromszögek köré írható kör azonos. Nem változtat ezen az pontra való tükrözés sem: az -ból és -ból kapott háromszögek (az 1. ábrán , illetve , ahol azonos -val) köré írható kör tehát azonos. A fenti meggondolásban -t -vel, majd -vel, felcserélve kapjuk annak a bizonyítását, hogy a másik két háromszög köré írható kör is azonos az első háromszög köré írható körrel, feladatunk állítását ezzel bebizonyítottuk.
Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy a legutóbb talált pont a közös körülírt körön a -vel átellenes pont, a kör középpontja azonos a háromszög magasságpontjával, továbbá hogy az adódott háromszög -ból induló magasságának talppontja azonos -vel, -ban pedig vetülete -ra azonos -val. |