A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A negyedik szám páros, ezért a harmadik páratlan, tehát 5-re végződik, így számaink utolsó jegye rendre 3, 4, 5, 6, és bennük a követelmény szerint a magasabb értékű helyeken is csak ez a négyféle számjegy fordulhat elő. Mivel a negyedik szám osztható 4-gyel és egyes értékű számjegye 6-os, ezért a tízes értékű jegye páratlan, tehát vagy 5-ös, vagy 3-as. Így a számnégyest a következő két alak valamelyike adja meg:
ahol és alkalmas egészek. Célszerűbbnek látszik az első alak, mert 33 osztható 11-gyel, eszerint olyan -t keresünk, amely 11-gyel osztható, a jegyei a 3, 4, 5, 6 jegyek közül valók, továbbá amelyre | | osztható 7-tel. Mivel egy alakú szám, azért ez akkor osztható 7-tel, ha osztható 7-tel. A szorzást a szokásos séma szerint elvégezve, azaz -t alakra hozva látjuk, hogy első és utolsó jegye ugyancsak a keresett 3, 4, 5, 6 jegyek közül való. Így nem lehet egyjegyű, mert nem osztható 7-tel az , 4, 5, 6 számokra. Kétjegyű sem lehet , mert ekkor középső jegye egyenlő első és utolsó jegyének az összegével, erre a jegyre itt csak jön szóba, és ekkor volna, amire nem osztható 7-tel. Ha háromjegyű, mondjuk akkor és a 3, 4, 5, 6 jegyek közül való, és azt, hogy jegyei is ezek közül valók legyenek, úgy biztosíthatjuk legegyszerűbben, hogy értékét 0-nak választjuk. Az választás mellett az -re adódó 302, 303, 304, 305 számok egyike sem osztható 7-tel. Az értékhez tartozó 402, 403, 404, 405 számok között sincs 7-tel osztható, de az 502, 503, 504, 505 között már van: az szám. Ennek az paraméterpár, és az | | számnégyes felel meg, melyről a kívánt oszthatóságok egy kivételével azonnal látszanak. A nem triviális oszthatóság is teljesül: .
Megjegyzés. A kapott számnégyes nem a legkisebb. Az típusúak között kisebb szám a 355 333 kezdőszámú négyes.
II. megoldás. Most típusú számnégyest keresünk (lásd fent). Nem lehet egyjegyű szám, mert 353, 453, 553 és 653 egyike sem osztható 11-gyel. Kétjegyű sem lehet , ugyanis esetében az első szám így alakítható: | | itt a megengedett jegyek mellett értéke és közti szám, tehát csak , azaz esetén áll be a 11-gyel való oszthatóság. Azonban a szám sem és esetében, sem és esetében nem többszöröse a 7-nek. Háromjegyű -mel viszont sikeres a próbálkozás. Ugyanis mellett az első szám: | |
Itt a második tag korlátai:
köztük csak a 0 többszöröse a 11-nek, ez a tag tehát csak úgy osztható 11-gyel, ha Másrészt ekkor a második szám | | itt a második tag (1) felhasználásával , ami 12 és 24 közti érték, osztható 7-tel, ha , és , ami (1)-ből -ra vezet. Valóban, a számnégyes megfelel mindegyik feltételnek. Ezzel eleget tettünk a feladat követelésének.
Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy új megfelelő számnégyest kapunk, ha a találtak elé írjuk 77-nek olyan többszörösét, amely csak a 3, 4, 5, 6 számjegyeket tartalmazza. Ilyenek négy és öt jeggyel (szorzótáblázatból):
hat jeggyel pedig bármely szám, hiszen ez . (A négy- és ötjegyűek közt is vannak 1001, ill. 10 010 különbségű párok.)
|