Kezdőlap


Feladat:	1416. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/november, 152 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: 1416. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A negyedik szám páros, ezért a harmadik páratlan, tehát 5-re végződik, így számaink utolsó jegye rendre 3, 4, 5, 6, és bennük a követelmény szerint a magasabb értékű helyeken is csak ez a négyféle számjegy fordulhat elő.
Mivel a negyedik szám osztható 4-gyel és egyes értékű számjegye 6-os, ezért a tízes értékű jegye páratlan, tehát vagy 5-ös, vagy 3-as. Így a számnégyest a következő két alak valamelyike adja meg:

\begin{matrix} A : & 100 k + 33, & 100 k + 34, & 100 k + 35, & 100 k + 36, \\ B : & 100 m + 53, & 100 m + 54, & 100 m + 55, & 100 m + 56, \end{matrix}

ahol

k

és

m

alkalmas egészek. Célszerűbbnek látszik az első alak, mert 33 osztható 11-gyel, eszerint olyan

k

-t keresünk, amely 11-gyel osztható, a jegyei a 3, 4, 5, 6 jegyek közül valók, továbbá amelyre

\begin{matrix} 100 k + 34 = 98 k + 35 + 2 k - 1, azaz x = 2 k - 1 \end{matrix}

osztható 7-tel. Mivel

k

egy

11 n

alakú szám, azért

\begin{matrix} x = 2 k - 1 = 22 n - 1 = 21 n + (n - 1), \end{matrix}

ez akkor osztható 7-tel, ha

(n - 1)

osztható 7-tel. A

11 n

szorzást a szokásos séma szerint elvégezve, azaz

k

-t

k = 10 n + n

alakra hozva látjuk, hogy

n

első és utolsó jegye ugyancsak a keresett 3, 4, 5, 6 jegyek közül való. Így

n

nem lehet egyjegyű, mert

(n - 1)

nem osztható 7-tel az

n = 3

, 4, 5, 6 számokra. Kétjegyű sem lehet

n

, mert ekkor

k

középső jegye egyenlő

n

első és utolsó jegyének az összegével, erre a jegyre itt csak

3 + 3 = 6

jön szóba, és ekkor

n = 33

volna, amire

(n - 1)

nem osztható 7-tel.
Ha

n

háromjegyű, mondjuk

\begin{matrix} n = 100 a + 10 b + c, \end{matrix}

akkor

a

és

c

a 3, 4, 5, 6 jegyek közül való, és azt, hogy

11 n

jegyei is ezek közül valók legyenek, úgy biztosíthatjuk legegyszerűbben, hogy

b

értékét 0-nak választjuk. Az

a = 3

választás mellett az

(n - 1)

-re adódó 302, 303, 304, 305 számok egyike sem osztható 7-tel. Az

a = 4

értékhez tartozó 402, 403, 404, 405 számok között sincs 7-tel osztható, de az 502, 503, 504, 505 között már van: az

(n - 1) = 504

szám. Ennek az

\begin{matrix} n = 505, k = 5555 \end{matrix}

paraméterpár, és az

\begin{matrix} 555 533, 555 534, 555 535, 555 536 \end{matrix}

számnégyes felel meg, melyről a kívánt oszthatóságok egy kivételével azonnal látszanak. A nem triviális oszthatóság is teljesül:

555 534 : 7 = 79 362

Megjegyzés. A kapott számnégyes nem a legkisebb. Az

A

típusúak között kisebb szám a 355 333 kezdőszámú négyes.

II. megoldás. Most

B

típusú számnégyest keresünk (lásd fent). Nem lehet

m

egyjegyű szám, mert 353, 453, 553 és 653 egyike sem osztható 11-gyel.
Kétjegyű sem lehet

m

, ugyanis

m = 1 O D + C

esetében az első szám így alakítható:

\begin{matrix} 100 m + 53 = 11 (91 D + 9 C + 5) + (C - D - 2), \end{matrix}

itt a megengedett jegyek mellett

C - D

értéke

+ 3

és

- 3

közti szám, tehát csak

C - D = 2

, azaz

D = C - 2

esetén áll be a 11-gyel való oszthatóság. Azonban a

100 m + 54

szám sem

C = 5

és

D = 3

esetében, sem

C = 6

és

D = 4

esetében nem többszöröse a 7-nek.
Háromjegyű

m

-mel viszont sikeres a próbálkozás. Ugyanis

m = 100 E + 10 D + C

mellett az első szám:

\begin{matrix} 100 m + 53 = 11 (909 E + 91 D + 9 C + 5) + (E + C - 2 - D) . \end{matrix}

Itt a második tag korlátai:

\begin{matrix} E + C - 2 - D ≧ 3 + 3 - 2 - 6 = - 2 és \\ E + C - 2 - D ≦ 6 + 6 - 2 - 3 = 7, \end{matrix}

köztük csak a 0 többszöröse a 11-nek, ez a tag tehát csak úgy osztható 11-gyel, ha

\begin{matrix} E + C - 2 - D = 0, D = E + C - 2. \end{matrix}

(1)

Másrészt ekkor a második szám

\begin{matrix} 100 m + 54 = 7 (1428 E + 143 D + 14 C + 8) + (4 E - D + 2 C - 2), \end{matrix}

itt a második tag (1) felhasználásával

3 E + C

, ami 12 és 24 közti érték, osztható 7-tel, ha

3 E + C = 14

C = 5

és

E = 3

, ami (1)-ből

D = 6

-ra vezet. Valóban, a

\begin{matrix} 36 553, 36 554, 36 555, 36 556 \end{matrix}

számnégyes megfelel mindegyik feltételnek. Ezzel eleget tettünk a feladat követelésének.

Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy új megfelelő számnégyest kapunk, ha a találtak elé írjuk 77-nek olyan többszörösét, amely csak a 3, 4, 5, 6 számjegyeket tartalmazza. Ilyenek négy és öt jeggyel (szorzótáblázatból):

\begin{matrix} 3465, 4466, 4543, 5544, 6545, ill. \\ 35 343, 36 344, 45 353, 46 354, 55 363, 56 364, \end{matrix}

hat jeggyel pedig bármely

F G H F G H

szám, hiszen ez

1001 \cdot F G H = 77 \cdot 13 \cdot F G H

. (A négy- és ötjegyűek közt is vannak 1001, ill. 10 010 különbségű párok.)