Kezdőlap


Feladat:	1415. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1972/október, 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Egységtörtes felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: 1415. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két természetes szám ‐ jelöljük őket $a$ -val és $b$ -vel ‐ mindegyikének reciproka kisebb $1 / p q$ -nál, tehát mindegyikük nagyobb $p q$ -nál. Legyen tehát $a = p q + c$ , $b = p q + d$ , ahol $c$ , $d > 0$ , egész számok, és írjuk elő még egyelőre az $a < b$ , azaz $c < d$ követelményt is. Mármost

\begin{matrix} \frac{1}{p q + c} + \frac{1}{p q + d} = \frac{1}{p q} \end{matrix}

-ból a törtek eltávolításával, rendezéssel

\begin{matrix} c d = p^{2} q^{2}, \end{matrix}

és

d = \frac{p^{2} q^{2}}{c} > c

alapján

c < p q

, azaz

c

p^{2} q^{2}

-nek

p q

-nál kisebb osztója,

d

pedig a társosztója.

p^{2} q^{2}

osztói így rendezhetők:

\begin{matrix} 1, & p, & p^{2}, \\ q, & p q, & p^{2} q, \\ q^{2}, & p q^{2}, & p^{2} q^{2}. \end{matrix}

Számuk 9, közülük

p q

-t elhagyva 4 párt adnak

c

d

, ennélfogva

a

b

számára.
Tehát

1 / p q

-t 8-féleképpen bonthatjuk 2 különböző természetes szám reciprokának az összegére, ha azokat a felbontásokat is különbözőknek tekintjük, amelyek csak a tagok sorrendjében térnek el egymástól. Ha pedig az ilyen, egymásból a tagok sorrendjének a felcserélésével előállítható felbontásokat nem tekintjük különbözőknek, akkor a lehetséges felbontások száma 4.