Kezdőlap


Feladat:	1413. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/szeptember, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tengely körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Térfogat, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: 1413. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Állítsuk elő a tetraéder $A$ csúcsában összefutó $3$ lapjának papírmodelljét. Oldalaikból megszerkesztjük papírlemezen az $A B C$ háromszöget, majd az $A B D$ -vel egybevágó $A B D_{1}$ háromszöget, és az $A C D$ -vel egybevágó $A C D_{2}$ -t úgy, hogy az utóbbi kettő az $A B$ , ill. $A C$ közös él mentén csatlakozzék az elsőhöz, és mind a $3$ háromszögünk az adott tetraéderen kívülről látható lapnak a tükörképe legyen (ellentétes körüljárással, ahogyan a lapokat belülről látnánk, 1. ábra).

1. ábra

Jelöljük

D'

-vel a

D_{1}

-ből

A B

-re és a

D_{2}

-ből

A C

-re bocsátott merőlegesek metszéspontját.
A

3

lap együttesét kivágva, fordítsuk az

A B D_{1}

lapot

A B

mint tengely körül az

A B C

alapsík fölé, így

D_{1}

D_{1} D'

egyenes fölött halad, hiszen körívet ír le az

A B

-re merőleges síkban, és ennek az egész síknak az alapsíkon levő vetülete a berajzolt

D_{1} D'

egyenes. Ugyanígy

A C D_{2}

-t

A C

körül fordítva

D_{2}

D_{2} D'

egyenes fölött halad, és

D_{1}

és

D_{2}

D'

fölötti

D

pontban találkozik, hiszen

A D_{1} = A D_{2} = A D

.
Így az eredeti tetraéderben

D'

D

csúcsnak az

A B C

alapsíkon levő vetülete, és

D D' = m

az erre az alapra merőleges magassága a testnek.
Ezek szerint, ha meghatározzuk

D'

-nek az

A

B

C

csúcsok valamelyikétől való távolságát, akkor

m

kiszámítható a

D D' A

D D' B

, ill.

D D' C

háromszögből. Például az elsőből

\begin{matrix} m^{2} = D A^{2} - D' A^{2}, \end{matrix}

(1)

mi ezt választjuk, ugyanis

D' A

kiszámításában előnyösen használhatjuk ki azt az észrevételt, hogy a

D A B ∢ = 90^{\circ}

, hiszen

D B^{2} = D A^{2} + A B^{2}

.
Így

D_{1} D'

átmegy

A

-n, és ha még

D_{2} D'

és

A C

metszéspontja

D'_{2}

, a

C

vetülete

A B

-re

C'

, akkor

D' D'_{2} A

és

A C' C

hasonló derékszögű háromszögek, ebből

\begin{matrix} D' A = A C \frac{D'_{2} A}{C' C} . \end{matrix}

(2)

Ehhez a

D_{2} D'_{2} A

és

D_{2} D'_{2} C

derékszögű háromszögekből, majd mindjárt behelyettesítve számadatainkat

\begin{matrix} D'_{2} D_{2}^{2} = D_{2} A^{2} - D'_{2} A^{2} = D_{2} C^{2} - D'_{2} C^{2} = D_{2} C^{2} - {(A C - D'_{2} A)}^{2}, \\ D'_{2} A = \frac{A C^{2} + A D^{2} - C D^{2}}{2 A C} = \frac{16}{7} . \end{matrix}

Ugyanezzel a gondolatmenettel a

C C' B

és

C C' A

derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} C' C^{2} = B C^{2} - C' B^{2} = A C^{2} - {(B C' - A B)}^{2}, \\ B C' = \frac{B C^{2} + A B^{2} - A C^{2}}{2 A B} = 9, így C C' = \sqrt[]{40}, \end{matrix}

ennélfogva (2), majd (1) alapján

\begin{matrix} D' A = \frac{8}{\sqrt[]{10}}, m^{2} = 64 - \frac{64}{10} = \frac{9 \cdot 64}{10}, m = \frac{24}{\sqrt[]{10}} . \end{matrix}

C' C

ismeretében kiszámítható az

A B C

alapháromszög területe is, így pedig a tetraéder térfogata:

\begin{matrix} V = \frac{m}{3} \cdot \frac{A B \cdot C' C}{2} = 48 térfogategység, \end{matrix}

(azaz

48

db egységnyi élű kocka térfogata).

Megjegyzések. 1. Az

A B D

háromszöglap derékszögét kihasználhatjuk úgy is, hogy ennek a lapnak a síkjába fordítjuk bele az

A B C

A D C

lapokat (2. ábra).

2. ábra

A fentiek alapján

A C'_{1} = 3

egység, hasonlóan

A C'_{2} = 2

C' A^{2} = C'_{1} A^{2} + C'_{2} A^{2} = 13

és

m_{A B D} = 6

egység, az alap pedig

24

területegység.
2. A vizsgált tetraéder élrendszere szép példa ún. racionális tetraéderre. Olyan tetraédert értenek ezen, melyben mind a

6

él és a térfogat mértékszáma racionális (esetünkben egész). A mértékszámok egymásutánisága emlékeztet a

3

4

5

egységnyi oldalú derékszögű háromszögre (ún. egyiptomi háromszög). Megjegyezzük azonban, hogy itt az élek helyzeti elrendeződése is fontos, másképpen állítva szemben fekvő párokba e mértékszámokat, a térfogat másnak adódhat. Pl. a

6

és

8

hosszúságú élek szerepét fölcserélve az 1. megjegyzésben kapott

6

-os magasság helyett

6, 97

adódik, az alapterület viszont változatlan.