A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Tekintsük az szabályos tízszög bármelyik átlóját. Ennek felező merőlegese átmegy az köré írt kör középpontján, így az -re való tükrözés önmagába viszi át -t, azt értve ezen, hogy pontjait páronként egymásba viszi át, és közös pontjai pedig helyben maradnak; a párokat összekötő szakaszok merőlegesek -re. Ilyen pár is, ezért a tükrözés -et is önmagába viszi át, és -nek további 8 csúcsa is legalább 3 ilyen párba kapcsolódik, közülük legfeljebb 2 pár alkotja -nek egy-egy oldalát, így mindenesetre marad -nek -vel párhuzamosan legalább 1 (szoros értelemben vett) átlója, amint a feladat állítja. Amennyiben és közös pontjai maguk is csúcsai -nek (1a. ábra), akkor a köztük levő szakasz mindjárt egy, a -re merőleges átló; ha pedig nem átló (1b. ábra), akkor oldalfelező merőlegese -nek (mert másféle szimmetriatengelye nincs a tízszögnek), van tehát -nek két oldala, mely -re merőleges. Ezek végpontjai téglalapot határoznak meg ‐ hiszen az körüli -os elfordítás is önmagába viszi át a tízszöget ‐ és a téglalap további két oldala a -re merőleges átló. Ezzel az állításokat bebizonyítottuk.
1. ábra 2. Az előbbi meggondolásból adódik, hogy akkor és csak akkor átlója a tízszögnek, ha a -nek egyik partján levő tízszögcsúcsok száma páratlan (és ekkor a másik partján levő csúcsok száma is páratlan, (1a. ábra). Ilyenkor az -en kívül álló 8 csúcs 4 db -irányú átlót alkot, tehát a -vel párhuzamos, tőle különböző átlók száma 3. A -re merőleges átlók közös felező merőlegese viszont oldalfelező (párhuzamos -vel), erre vonatkozóan a 10 csúcs 5 párt alkot, közülük 2 pár a tízszög egy-egy oldala, így páratlan szám esetén a -re merőleges átlók száma ugyancsak 3. Hasonlóan akkor és csak akkor oldalfelező, ha páros, ekkor -vel párhuzamosan 2 átló halad, rá merőlegesen pedig 4 (1b. ábra). 3. A 2 egységnyi átmérőt a rá merőlegesen álló 4 átló 5 részre osztja (2. ábra), közülük kettő-kettő a szimmetria folytán egyenlő egymással, a középső pedig -nek vele párhuzamos oldalával egyenlő, ami a kitűzéskor idézett 1766. feladat szerint
2. ábra
| | hiszen egyenlő szárú háromszög, és a szárai közti szög . Az tengelyre tükrös , , valamint , átlópárok a tengelyen metszik egymást, a kerületi szögek tétele alapján a jelölt szögek egyenlők, így az és háromszögek egyenlő szárúak, ezért
végül | | Megjegyzések. 1. A -vel párhuzamos átló létezésének bizonyítására egyszerű ötletnek ígérkezik ez: tükrözzük a átlót -ra, ekkor az tükörkép is átló és párhuzamos -vel. Így azonban külön bizonyításra van szükség arra az esetre, ha éppen átmérő, hiszen ekkor a tükörkép azonos -vel. Az -re merőleges átlóként pedig -re kézenfekvő rámutatni. De itt is marad pótolni való: azonos -vel, ha átmérő; lehet továbbá oldala is a tízszögnek. 2. Az állítás és fenti bizonyításunk érvényes minden és oldalú szabályos sokszögre, ha . (A bizonyítás a oldalszám esetén kissé módosul.) K. M. L. 43 (1971) 15. oldal. |