A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az állítás egyértelmű azzal, hogy és egymás tükörképei az szakasz felezőpontjára nézve. Ezt fogjuk bizonyítani azzal, hogy az -et, -t meghatározó oldalfelező merőlegesek közül kettő-kettő az -re tükrös párt alkot (1. ábra, az -hoz közelebbi helyesen ). 1. ábra -et az , szakaszpár, -t pedig az , szakaszpár felező merőlegesei metszéspontjának tekintjük, így állításunk nyilvánvalóan az , és az , párok felező merőlegeseire vonatkozik. Az , , és pont -n levő vetületét rendre -vel, -vel, -vel, -vel jelölve elég azt belátnunk, hogy -t -re tükrözve -t kapjuk. Valóban, ezek a pontok mind az szakaszon vannak, és -tól mért távolságuk rendre
amiből következik. Ugyanígy bizonyítható, hogy és felező merőlegese tükrös az pontra, tehát a feladat állítása az előrebocsátottak szerint helyes.
Egyszerűsítéssel Kovács Zoltán (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.) dolgozatából. | II. megoldás. Az négyszög oldala szerkesztésnél fogva az szakasz felező merőlegese. Erre tekintettel azt fogjuk bizonyítani, hogy az egyenes is merőleges -re, hiszen így párhuzamos -gyel. Ez az eredeti ábrából minden hozzáadás nélkül adódik akkor, ha az középpontú körnek átmérője (2. ábra), hiszen ekkor , pedig az szakasz felezőpontja, mert derékszögű háromszög, és az átfogója. 2. ábra Ha nem átmérő, akkor az nem derékszög, nincs az -n, az egyenlő szárú háromszögből | | (1) | A kivonandó mindenesetre hegyesszög és egyenlő a , szögekkel, hacsak ezek hegyesszögek (1. ábra), tehát az utolsó alak a szög pótszöge, párhuzamos az -re -ben állított merőlegessel, merőleges -re, mert alapján azon a partján van a egyenesnek, mint , az pont pedig a másik partján. Ha pedig a , szögek tompaszögek, akkor kiegészítő szögük egyenlő (1) kivonandójával, vagyis | | és most az és pontok a egyenesnek ugyanazon az oldalán vannak, tehát ekkor is párhuzamos a -ben -re állított merőlegessel (3. ábra). 3. ábra Írjunk most ábráink , , , betűje helyére rendre , , , betűt, ekkor helyére -t és helyére -et kell írnunk és fenti bizonyításunk szerint az új és új párhuzamosak, vagyis az eredeti és párhuzamosak. Így pedig valóban paralelogramma. A paralelogramma oldalegyenese a oldal felező merőlegese.
Ha az négyszögben párhuzamos -vel, akkor felező merőlegesük azonos és a vizsgált paralelogramma elfajul. Megjegyzés. Megoldásunkból kiolvasható a következő, önmagában is érdekes állítás bizonyítása. Ha egy háromszögben az egyik csúcsot összekötjük a körülírt kör középpontjával, és a szemközti oldalt tükrözzük a hozzátartozó szögfelezőre, merőleges egyeneseket kapunk. III. megoldás. Jelöljük az háromszög köré írt körnek, -nek és a háromszög -beli külső szögfelezőjének, -nek a ,,másik'' metszéspontját -nel (vagyis a és -től különböző metszéspontja minden olyan helyzetben, ha metszi -et, különben pedig azonos -mel). A kerületi szögekre vonatkozó tétel alapján felezi a -nek az ívét, és így rajta van az szakasz felező merőlegesén, . Tükrözzük az , , pontokat -re, és jelöljük a kapott pontokat -vel, -vel és -vel. A fentiek szerint rombusz, és az trapéz köré írható kör középpontja (4. ábra). 4. ábra Mivel konvex húrnégyszög, az és , háromszögek megegyező körüljárásúak, és centrálisan hasonlóak. Emiatt -t a szakasz -vel párhuzamos felező merőlegese metszi ki -ből és ugyanez a felező merőleges metszi ki -ből -t. (Szemléletesen mondva: az -centrumú nagyítás ‐ vagy kicsinyítés ‐ közben az , ,,síneken'' futnak az , pontok.) Tehát paralelogramma.
Egyszerűsítéssel Kollár János (Bpest., Piarista Gimn., II. o. t.) dolgozatából. |
|