Kezdőlap


Feladat:	1410. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/október, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Téglatest, Hossz, kerület, Terület, felszín, Térfogat, Téglalapok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: 1410. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A téglalap oldalait $c$ -vel és $d$ -vel jelölve az előírás szerint

\begin{matrix} c d = 4 (c + d), amiből (c - 4) (d - 4) = 16, \end{matrix}

(1)

eszerint (

c - 4

) és (

d - 4

) egyenlő előjelűek. Nem lehetnek viszont negatívok, különben

c

d \geq 1

, és

(c - 4)

(d - 4) \geq - 3

alapján szorzatuk legföljebb 9 lenne. Eszerint

c - 4

a 16-nak pozitív osztója, és

\begin{matrix} d = 4 + \frac{16}{c - 4}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} c - 4= 16, & 8, & 4, & 2, & 1, \\ c= 20, & 12, & 8, & 6, & 5, \\ d=  5, & 6, & 8, & 12, & 20. \end{matrix}

Az utolsó két

c, d

értékpárt

d, c

sorrendben már megkaptuk, eszerint három lényegesen különböző oldalpár van.
b) Mivel a test két lapja négyzet, azért az egy-egy csúcsban összefutó három él közül kettő egyenlő; jelöljük ezt

e

-vel, a harmadikat

f

-fel. Így a követelmény szerint

\begin{matrix} e^{2} f = 4 (e^{2} + e f + e f) = 4 e (e + 2 f), \end{matrix}

(2)

amiből

e \neq 0

alapján az előzőkhöz hasonlóan

\begin{matrix} e f = 4 e + 8 f, (e - 8) (f - 4) = 32, \end{matrix}

ahol

(e - 8)

és

(f - 4)

mindegyike pozitív, hiszen különben

e - 8 \geq - 7

és

f - 4 \geq - 3

alapján szorzatuk legföljebb 21 lehetne. Eszerint

(e - 8)

a 32-nek pozitív osztója,

\begin{matrix} f = 4 + \frac{32}{e - 8}, \end{matrix}

lehetséges értékpárok:

\begin{matrix} e - 8= 32, & 16, & 8, & 4, & 2, & 1, \\ e= 40, & 24, & 16, & 12, & 10, & 9, \\ f=  5, & 6, & 8, & 12, & 20, & 36. \end{matrix}

Azt kaptuk, hogy 6 különböző él-arányú téglatest és mindegyikhez egy hosszúságegység felel meg, egyik esetben speciálisan kockát kapunk. (A mértékegység lényeges, az

e, f

élpárokat nem lehet egyszerűsíteni, mert (2) két oldalán különböző dimenziójú mennyiségek állnak ‐ ugyanígy (1) két oldalán is ‐, csupán a mértékszámok egyenlők.)

Megjegyzés. (1)-et

4 c d

-vel, (2)-t

4 e^{2} f

-fel osztva

\begin{matrix} \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{1}{4}, ill. \frac{2}{e} + \frac{1}{f} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

Ezekből is eljuthatunk a megoldásokhoz, és azt is látjuk, hogy a)-nak minden

c, d

értékpárjával

e = 2 c, f = d

egy megoldása a b) kérdésnek.