Kezdőlap


Feladat:	1409. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csapó György
Füzet:	1972/október, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív eljárások, Periodikus sorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: 1409. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a sorozat $n$ -edik tagját $a_{n}$ -nel, így a feladat szerint

\begin{matrix} a_{1} & = 2, & a_{2} & = 3, \\ a_{n} & = a_{n - 1} a_{n + 2} - 1 & (n & = 2, 3, ...) . & (1) \end{matrix}

Eszerint ha

a_{n - 1} \neq 0

, akkor

a_{n - 1}

és

a_{n}

egyértelműen meghatározza

a_{n + 1}

értékét:

\begin{matrix} a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n - 1}} . \end{matrix}

(2)

Nevezetesen, ha

a_{n - 1}

és

a_{n}

pozitívak, akkor

a_{n + 1}

, is pozitív, ha tehát

a_{1}

, és

a_{2}

pozitív, akkor

a_{1}

és

a_{2}

értéke, és az (1) követelmény egyértelműen meghatározza a teljes sorozatot (és e sorozat minden tagja pozitív). Így van ez a feladatban szereplő sorozat esetén is, ennek néhány kezdeti tagját (2) szerint meghatározva a következő értékeket kapjuk:

\begin{matrix} a_{3} = 2, a_{4} = 1, a_{5} = 1, a_{6} = 2, a_{7} = 3. \end{matrix}

Azt látjuk, hogy

a_{6} = a_{1}

és

a_{7} = a_{2}

, így pedig

a_{8} = a_{3}

a_{9} = a_{4}

a_{10} = a_{5}

, a sorozat tagjai ötösével periodikusan ismétlődnek, hiszen minden új tag kiszámításához csak a közvetlen előtte álló két tagot használjuk fel.
Az első 5 tag összege 9, a periódusok száma

1095 : 5 = 219

, tehát a kívánt összeg

219 \cdot 9 = 1971

Csapó György (Debrecen, KLTE Gyak. Ált. Isk., 8. o. t.)

Megjegyzés. A látott ismétlődés nem a megadott két tag értékén múlik, hanem az (1) képezési szabályon. Ha ugyanis az első két tag

a_{1}

és

a_{2}

, akkor

\begin{matrix} a_{3} & = \frac{1 + a_{2}}{a_{1}}, a_{4} = \frac{1 + a_{3}}{a_{2}} = \frac{a_{1} + 1 + a_{2}}{a_{1} a_{2}}, ha a_{1}, a_{2} \neq 0; \\ a_{5} & = \frac{1 + a_{4}}{a_{3}} = \frac{\frac{(1 + a_{1}) (1 + a_{2})}{a_{1} a_{2}}}{\frac{1 + a_{2}}{a_{1}}} = \frac{1 + a_{1}}{a_{2}}, ha 1 + a_{2} \neq 0; \\ a_{6} & = \frac{1 + a_{5}}{a_{4}} = \frac{(a_{2} + 1 + a_{1}) a_{1} a_{2}}{a_{2} (a_{1} + 1 + a_{2})} = a_{1}, ha 1 + a_{1} + a_{2} \neq 0; \\ a_{7} & = \frac{1 + a_{6}}{a_{5}} = a_{2} . \end{matrix}

Eszerint csak akkor nem képezhető a sorozat, ha az

a_{1} = 0

a_{2} = 0

a_{2} = - 1

a_{1} + a_{2} = - 1

egyenlőségekből legalább egy bekövetkezik.