Kezdőlap


Feladat:	1408. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1972/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: 1408. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A nevező két négyzet különbségeként szorzattá alakítható ‐ ugyanis van benne $(- b^{2})$ és $b$ -t nem tartalmazza több tag ‐ és, a többi 6 tag írható teljes négyzetként. Azok közül a teljes négyzetek: $4 a^{2}, 9 c^{2}$ , és $16$ négyzetgyökük rendre: $2 a$ és $- 2 a,$ ugyanígy $\pm 3 c$ , ill. $\pm 4$ ; az ezekből képezett 2-szeres szorzatok mindegyike is megtalálható és előjelükből látjuk, hogy a négyzet alapjában $| 3 c |$ és $| 4 |$ egyező jellel, $| 2 a |$ pedig amazokéval ellentétes jellel veendő. Ezek szerint a nevező:

\begin{matrix} {(2 a - 3 c - 4)}^{2} - b^{2} = (2 a - 3 c - 4 + b) (2 a - 3 c - 4 - b) . \end{matrix}

Azt várjuk, hogy a tört e két tényező egyikével lesz egyszerűsíthető.
Jelöljük a számláló és nevező várt közös tényezőjét így:

\begin{matrix} A = 2 a - 3 c - 4 + k b, \end{matrix}

ahol vagy

k = 1,

vagy

k = - 1,

és keressük azt a

B

tényezőt, amely ezzel szorozva a számlálót adja. Ebbe tagként kínálkoznak a

(6 a^{2}) : (2 a)

osztásból

3 a,

hasonlóan

6 c^{2} : (- 3 c)

-ből

(- 2 c),

(+ 12) : (- 4)

-ből

(- 3)

és

(- 2 b^{2}) : (k b)

-ből

(- 2 k b),

hiszen mindkét esetben

k^{2} = 1

. Tehát a

\begin{matrix} B = 3 a - 2 c - 3 - 2 k b \end{matrix}

tényezővel próbálkozunk. Levonva

A \cdot B

-t a számlálóból, a maradék így alakítható:

\begin{matrix} (1 + k) (a b - 4 b c - 5 b) . \end{matrix}

k = - 1

esetén

0,

vagyis

k

ezen értéke esetén a számláló

A \cdot B

, az egyszerűsítő tényező

2 a - 3 c - 4 - b .

Így pedig

\begin{matrix} T = \frac{3 a - 2 c - 3 + 2 b}{2 a - 3 c - 4 + b}, \end{matrix}

és további egyszerűsítés nem várható.
Természetesen csak olyan

a,

b,

c

számhármasok mellett érvényes az egyszerűsítés, amelyekkel

2 a - 3 c - 4 - b \neq 0

; különben az eredeti kifejezés nincs értelmezve. Továbbá csak az olyanok mellett, amelyekkel a megmaradt nevező sem

0