Kezdőlap


Feladat:	1404. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/november, 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/február: 1404. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az adott kifejezés könnyen átalakítható két, majd három, majd öt kifejezés szorzatává:

\begin{matrix} K & = x^{4} (x + 3 y) - 5 x^{2} y^{2} (x + 3 y) + 4 y^{4} (x + 3 y) = \\ = (x + 3 y) {(x^{4} - 4 x^{2} y^{2}) - (x^{2} y^{2} - 4 y^{4})} = \\ = (x + 3 y) (x^{2} - 4 y^{2}) (x^{2} - y^{2}) = \\ = (x + 3 y) (x + 2 y) (x + y) (x - y) (x - 2 y), \end{matrix}

ahol ‐ ha

x

és

y

egészek ‐ mind az öt tényező értéke egész szám.
Ha

y = 0

, akkor

K = x^{5}

, és ez nyilván nem lehet 33-mal egyenlő. Ha pedig

y \neq 0

, akkor

K

öt különböző szám szorzatára bontható, a 33 viszont legföljebb négy különböző egész szám szorzataként írható, ti. úgy, hogy tényezőnek vesszük

(+ 1)

-et és

(- 1)

-et, és a 3 és 11 egyikének a negatívját vesszük. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

II. Nem volt lényeges a 3-as és 11-es törzstényező értéke. Könnyű látni, hogy az állítás igaz minden törzsszámra, a törzsszámok

(- 1)

-szeresére, minden

\pm p q

számra, ahol

p

és

q

egymástól különböző törzsszámok. (Sőt még a

\pm p^{2} q

alakú számokra is igaz, ahol

p \neq 2

és

q \neq 2