Kezdőlap


Feladat:	1403. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/november, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/február: 1403. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a számok kisebbikét $x$ -szel, nagyobbikát $y$ -nal. Ekkor $x < 0$ és $y > 0$ , hiszen különbségük ‐ az adott sorrendben ‐ negatív, viszont egy kéttényezős szorzat csak úgy lehet negatív, ha tényezői ellentett előjelűek. A követelmények szerint:

\begin{matrix} x - y = x y, x^{2} + y^{2} = \frac{45}{4} . \end{matrix}

Ezekből

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - \frac{45}{4} = {(x - y)}^{2} + 2 x y - \frac{45}{4} = {(x - y)}^{2} + 2 (x - y) - \frac{45}{4} = 0, \end{matrix}

innen pedig

\begin{matrix} x - y = x y = - \frac{9}{2}, \end{matrix}

(1)

ugyanis az egyenlet másik gyöke pozitív. Másrészt

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = (x^{2} + y^{2}) + 2 x y = \frac{45}{4} - 9 = \frac{9}{4}, tehát \\ x + y = \pm \frac{3}{2} . & (2) \end{matrix}

Most már (2)-ből és (1)-ből összeadással, ill. kivonással

\begin{matrix} 2 x = \pm \frac{3}{2} - \frac{9}{2}, 2 y = \pm \frac{3}{2} + \frac{9}{2}, \end{matrix}

x

mindkét értéke negatív,

y

mindkét értéke pozitív, így a feladatnak két megoldása van, a számok:

\begin{matrix} - 3 és \frac{3}{2}, illetőleg - \frac{3}{2} és 3. \end{matrix}