Kezdőlap


Feladat:	1402. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pálfalvi György
Füzet:	1972/november, 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/február: 1402. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. 1. A föltevés szerint $\frac{a}{c} = \frac{d}{b}$ . Jelöljük a közös értékük tovább nem egyszerűsíthető alakját $\frac{u}{v}$ -vel, vagyis $u$ és $v$ egymáshoz képest relatív prím természetes számok (nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk). Ekkor van olyan $j$ és $k$ természetes szám (amivel egyszerűsítettünk), hogy

\begin{matrix} a = j u, c = j v, d = k u, b = k v . \end{matrix}

Eszerint pedig

\begin{matrix} a + b + c + d = j (u + v) + k (v + u) = (j + k) (u + v), \end{matrix}

összetett szám, hiszen mindkét tényező értéke legalább 2. Ezzel bebizonyítottuk, hogy ha

a b = c d

, akkor

a + b + c + d

összetett szám.
Ebből következik, hogy ha

x

y

u

v

olyan természetes számok, amelyekre

x y = u v

, és

n

tetszőleges természetes szám, akkor

(x^{n} + y^{n} + u^{n} + v^{n})

összetett szám (ami

n = 2

mellett feladatunk még be nem bizonyított állítását jelenti). Valóban, ha

x y = u v

, akkor

x^{n} y^{n} = u^{n} v^{n}

, tehát az

a = x^{n}

b = y^{n}

c = u^{n}

d = v^{n}

számokra alkalmazható az előző állítás, és ez éppen azt jelenti, hogy

(x^{n} + y^{n} + u^{n} + v^{n})

összetett szám.

Pálfalvi György (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás a feladat első állítására. Szorozzuk az

s = a + b + c + d

számot

a

-val, és helyettesítsük a szorzat második tagját a föltevés alapján:

\begin{matrix} a s = a^{2} + c d + a c + a d = a (a + c) + d (c + a) = (a + c) (a + d) . \end{matrix}

s

törzsszám volna, akkor a jobb oldalon legalább az egyik tényezőnek osztója volna.¹ Ez azonban lehetetlen, mert mindkét tényező kisebb, mint

s

¹Ha egy szorzat osztható egy törzsszámmal, akkor a szorzatnak legalább egyik tényezője osztható ezzel a törzsszámmal. E tétel bizonyítása ‐ valamint a közben felhasznált tételeké ‐ megtalálható pl. a következő Középiskolai Szakköri Füzetben: Faragó László: A számelmélet elemei. Tankönyvkiadó, Budapest, 1954. 22. oldal.