A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. A föltevés szerint . Jelöljük a közös értékük tovább nem egyszerűsíthető alakját -vel, vagyis és egymáshoz képest relatív prím természetes számok (nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk). Ekkor van olyan és természetes szám (amivel egyszerűsítettünk), hogy Eszerint pedig | | összetett szám, hiszen mindkét tényező értéke legalább 2. Ezzel bebizonyítottuk, hogy ha , akkor összetett szám. Ebből következik, hogy ha , , , olyan természetes számok, amelyekre , és tetszőleges természetes szám, akkor összetett szám (ami mellett feladatunk még be nem bizonyított állítását jelenti). Valóban, ha , akkor , tehát az , , , számokra alkalmazható az előző állítás, és ez éppen azt jelenti, hogy összetett szám.
Pálfalvi György (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.) | II. megoldás a feladat első állítására. Szorozzuk az számot -val, és helyettesítsük a szorzat második tagját a föltevés alapján: | | Ha törzsszám volna, akkor a jobb oldalon legalább az egyik tényezőnek osztója volna. Ez azonban lehetetlen, mert mindkét tényező kisebb, mint . Ha egy szorzat osztható egy törzsszámmal, akkor a szorzatnak legalább egyik tényezője osztható ezzel a törzsszámmal. E tétel bizonyítása ‐ valamint a közben felhasznált tételeké ‐ megtalálható pl. a következő Középiskolai Szakköri Füzetben: Faragó László: A számelmélet elemei. Tankönyvkiadó, Budapest, 1954. 22. oldal. |