|
Feladat: |
1399. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Beck L. , Borbély A. , Boros P. , Éltető L. , Fazekas László , Fördős J. A. , Gáspár Gy. , Horváth Eszter , Jakab T. , Kelemen G. , Molnár György , Pesti G. , Raikovich P. , Simonyi B. , Smohay T. , Szabó Zs. , Szalay P. , Szöllős L. , Torma T. , Vladár K. , Zahalka G. |
Füzet: |
1972/szeptember,
18 - 19. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Eltolás, Magasságvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/január: 1399. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Ismeretes, hogy hegyesszögű háromszögben a talpponti háromszög belső szögfelezői rendre azonosak az eredeti háromszög magasságvonalával. (Ez következik például abból, hogy a háromszög magasságpontját -mel jelölve, | | mert a középső két szöget ugyanaz a két egyenes határozza meg, az első és utolsó egyenlőség pedig abból következik, hogy az illetve szakasz a , , illetve , pontokból derékszög alatt látszik, tehát , , , , illetve , , , egy-egy körön vannak.)
Rajzoljuk meg az szakasz feletti Thalész-kört (középpontja ). A pont ebben nincs benne, mert -ből hegyesszög alatt látszik. Emiatt metszi a szakaszt, jelöljük a metszéspontot -vel. Így a háromszögben és a és szögek egyenlők. Az utóbbi viszont ‐ mint láttuk ‐ egyenlő a szöggel. Egyező ezeknek a szögeknek a forgási iránya is (az ábrán mindegyiké megegyezik az óramutató járásával), tehát párhuzamos -lal, és így átmegy -en. Ezzel tulajdonképpen azt láttuk be, hogy a egyenest a -túl épp az szakasz felével kell meghosszabbítani, hogy az háromszög határára ‐ jelen esetben az szakaszra ‐ érjünk. Eddigi meggondolásainkat elmondhatjuk betűk nélkül is: azt kaptuk, hogy egy hegyesszögű háromszög talpponti háromszögének bármelyik középvonalát a talpponti háromszög bármelyik felezett oldalán túl épp az illető oldal felével kell megtoldani, hogy az eredeti háromszög határára jussunk. Ha tehát egy középvonalat mindkét irányban megtoldunk, akkor a teljes szakasznak a részei ‐ azaz a középvonal egyeneséből az eredeti háromszögbe eső darabnak a részei ‐ rendre egyenlők a talpponti háromszög egy-egy oldalának a felével, és a teljes szakasz hossza egyenlő a talpponti háromszög félkerületével. Ezzel a feladat állításának a bizonyításán túl azt is meghatároztuk, mekkorák a szóban forgó szakaszok. 2. Rátérünk a feladat kérdésének a vizsgálatára. Jelöljük egy tetszőleges tompaszögű háromszög tompaszögénél levő csúcsát, -mel, a másik két csúcsot -val és -vel, a háromszög magasságpontját -vel. Ekkor az háromszög hegyesszögű, és a talpponti háromszöge azonos talpponti háromszögével. Jelöljük ennek a csúcsait továbbra is -lal, -lal, -lal, az háromszög oldalfelező pontjait rendre -gyel, -gyel, -gyel, az feletti Thalész-kört -val. Mivel az szakasz -ből tompaszög alatt, -ből pedig hegyesszög alatt látszik, azért a belsejében, pedig a -n kívül van, tehát metszi a szakaszt, jelöljük a metszéspontot -vel. Ez a már használt -vel szemközti pontja -nak, mert , emiatt is rajta van a egyenesen. Ha tehát egy hegyesszögű háromszög talpponti háromszögének a középvonalára visszafelé mérjük fel az oldal felét, az eredeti háromszög magasságvonalára jutunk. (Ez így egy kicsit pontatlan: hogy melyik magasságvonalra, az abból határozható meg, hogy a választott középvonal, a felmért oldal és a magasságvonal az eredeti háromszög különböző csúcsaihoz tartozik.) Ezek szerint a félegyenesre az oldal felét mérve a magasságvonalra jutunk, a -en túli meghosszabbításra pedig az felét mérve az oldalra jutunk, tehát a egyenesnek az háromszögbe eső szakasza egyenlő -lal. Hasonlóan látható, hogy ennyivel egyenlők az , egyenesek -beli szakaszai is, tehát a feladat eredeti állítása tompaszögű háromszögre változtatás nélkül igaz, csak az általunk a szakaszok közös értékéről adott kiegészítést kell módosítani. |
|