A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük -vel a (2)-ben szereplő hányadosok közös értékét, ekkor Mivel (1)-ben csak páros kitevőjű hatványon szerepel, azért az gyökkel együtt is kielégíti az egyenletet. Emiatt , , és , valamelyike egyenlő -gyel. Mivel ‐ különben a (2)-beli első hányadosnak nem volna értelme ‐, ezért -nek valamelyik hatványa , ebből következik, mert más valós számnak nem hatványa a . Eszerint az egyenlet gyökeire teljesül Így a gyökök négyzetére felírt másodfokú egyenletnek kétszeres gyöke, ami akkor és csakis akkor teljesül, ha (3) diszkriminánsa 0, azaz Ebből , s mivel valós szám, következik. E feltételek teljesülése esetén az eredeti egyenlet | | alakú. Mivel itt negatív, azért az egyenlet gyökei a kívánt sorrendben | | tehát (2) valóban teljesül, Megjegyzés. A feladat általánosítása: legyen a vizsgált egyenlet | | és azt kívánjuk, hogy gyökeire teljesüljön: Innen a gyökökre adódik, ahol és . A fentihez hasonlóan belátható, hogy , így pedig az egyenletnek is, is -szeres gyöke. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet bal oldalán áll, ebből pedig az együtthatók könnyen meghatározhatók.
|