Kezdőlap


Feladat:	1398. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/március, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Mértani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/január: 1398. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $c$ -vel a (2)-ben szereplő hányadosok közös értékét, ekkor

\begin{matrix} x_{2} = c x_{1}, x_{3} = c^{2} x_{1}, x_{4} = c^{3} x_{1}, \end{matrix}

Mivel (1)-ben

x

csak páros kitevőjű hatványon szerepel, azért az

x_{1}

gyökkel együtt

(- x_{1})

is kielégíti az egyenletet. Emiatt

c x_{1}

c^{2} x_{1}

, és

c^{3} x_{1}

, valamelyike egyenlő

(- x_{1})

-gyel. Mivel

x_{1} \neq 0

‐ különben a (2)-beli első hányadosnak nem volna értelme ‐, ezért

c

-nek valamelyik hatványa

(- 1)

, ebből

c = - 1

következik, mert más valós számnak nem hatványa a

(- 1)

. Eszerint az egyenlet gyökeire teljesül

\begin{matrix} x_{1} = - x_{2} = x_{3} = - x_{4} . \end{matrix}

Így a gyökök négyzetére felírt

\begin{matrix} y^{2} + p y + q = 0 \end{matrix}

(3)

másodfokú egyenletnek

x_{1}^{2}

kétszeres gyöke, ami akkor és csakis akkor teljesül, ha (3) diszkriminánsa 0, azaz

\begin{matrix} p^{2} = 4 q . \end{matrix}

Ebből

x_{1}^{2} = - p / 2

, s mivel

x_{1}

valós szám,

\begin{matrix} - \frac{p}{2} > 0, azaz p < 0 \end{matrix}

következik. E feltételek teljesülése esetén az eredeti egyenlet

\begin{matrix} x^{4} + p x^{2} + \frac{p^{2}}{4} = 0, azaz {(x^{2} + \frac{p}{2})}^{2} = 0 \end{matrix}

alakú. Mivel itt

p

negatív, azért az egyenlet gyökei a kívánt sorrendben

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[]{- \frac{p}{2}}, x_{2} = - \sqrt[]{- \frac{p}{2}}, x_{3} = \sqrt[]{- \frac{p}{2}}, x_{4} = - \sqrt[]{- \frac{p}{2}}, \end{matrix}

tehát (2) valóban teljesül,

Megjegyzés. A feladat általánosítása: legyen a vizsgált egyenlet

\begin{matrix} x^{2 n} + p_{1} x^{2 n - 2} + ... + p_{n - 1} x^{2} + p_{n} = 0, \end{matrix}

és azt kívánjuk, hogy gyökeire teljesüljön:

\begin{matrix} \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x_{3}}{x_{2}} = ... = \frac{x_{2 n}}{x_{2 n - 1}} . \end{matrix}

Innen a gyökökre

\begin{matrix} x_{1}, c x_{1}, c^{2} x_{1}, ..., c^{2 n - 1} x_{1} \end{matrix}

adódik, ahol

x_{1} \neq 0

és

c \neq 0

. A fentihez hasonlóan belátható, hogy

c = - 1

, így pedig az egyenletnek

x_{1}

is,

(- x_{1})

n

-szeres gyöke. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet bal oldalán

\begin{matrix} {(x^{2} - x_{1}^{2})}^{n} \end{matrix}

áll, ebből pedig az együtthatók könnyen meghatározhatók.