A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. -nek -re való tükörképe rajta van az félegyenesen. Eszerint helyett -ből kiindulva helyén -t kapjuk, és a kérdéses kör e két esetben azonosnak adódik. Az egyenes elválasztja egymástól -t és -t, ezért elég -ként -ból annak az ívnek a pontjait tekinteni, amelyek -nek -t nem tartalmazó partján vannak. Legyen a mondott ívnek a végpontjaitól és az felezőpontjától különböző pontja. Mivel az , egyenesek egymás képei -re, ezért egymás képei az -n át -re merőlegesen álló egyenesre is. Ez átmegy -n, tengelye a -nak, tehát -nek a -n levő, -től különböző pontja a tükörképe -re.
Tekintsük most -nek -ből vett látószögét. Ez azonos a kerületi szöggel, ezért fele a középponti szögnek, így egyenlő az szöggel, -nek -ból vett látószögével, tehát rajta van az háromszög köré írt körön. (Felhasználtuk azt is, hogy ugyanazon a partján van az egyenesnek, mint .) szerepére a kiválasztott ív felezőpontját véve, -ként a kiegészítő ív felezőpontja adódik, hiszen az -re merőleges átmérő. Ekkor az háromszög köré írt ,,kör'' maga az egyenes, ,,végtelen nagy sugarú kör''. Ez -n is átmegy, tehát az állítás ,,tágabb értelemben'' igaz erre a helyzetre is. Célszerűbb azonban így kezdeni ennek kimondását: ha a mozgása folyamán tetszőlegesen közel jut -hez, akkor az háromszög köré írt kör sugara minden határon túl nő. Ilyen tágabb értelemben igaz az állítás -nak -n levő metszéspontjára is, a kiválasztott ív végpontjára. Ha közeledik -hez, akkor ugyanez áll -re is és a egyenes egyre jobban közeledik -nak -beli érintőjéhez. Továbbmenve, a -n és -n átmenő is érinteni fogja -t, így az , pontokkal és -vel egyértelműen meg van határozva. -t az -tól különbözőnek tekintettük, hiszen -ként -t véve, az állítás eleve semmitmondó.
Pálfalvi György (Győr, Révai M. Gimn.)
Megjegyzések. 1. Vázolunk egy kissé más megoldást, ugyancsak szögek egyenlősége alapján. párhuzamos -vel, ezért az és egyenesek közti hegyesszög egyállású a szöggel, az elsőnek mondott szögnek a szög a kétszerese a tükrözés alapján, a másodiknak pedig a középponti szög. Itt azt kaptuk tehát, hogy -nek -ból és -ból vett látószögei egyenlők.
Szöllős László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn.)
2. Ajánljuk az érdeklődő olvasónak a hasonló kérdés megvizsgálását arra az esetre, ha a -ra nézve külső pont. II. megoldás. Tekintsük az háromszög köré írt kört. A feladat állítását azzal bizonyítjuk be, hogy rajta van -n. Jelöljük középpontját -vel. Az egyenes a , körök közös centrálisa, ezért -nek -re vonatkozó tükörképe rajta van a -n is és a -n is. Thalész tétele alapján az és egyenesek metszéspontja rajta van -n. Mivel a , ívek egyenlők, azért -ból egyenlő szögek alatt látszanak. Eszerint -t -re tükrözve az egyenest kapjuk, vagyis azonos -vel. |