Feladat: 1380. matematika gyakorlat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bara T. ,  Baranyai A. ,  Bartha M. ,  Bereczky G. ,  Bíró Magdolna ,  Borbély A. ,  Boros P. ,  C. Szabó István ,  Czompó J. ,  Édes J. ,  Éltető L. ,  Fazekas l. ,  Fórizs Erzsébet ,  Forró T. ,  Fűrész B. ,  Gyenese T. ,  Gyombolai M. ,  Homonnay G. ,  Huszár Ida ,  Illés G. ,  Klár Z. ,  Kópházi J. ,  Kósa Zsuzsa ,  Kószó K. ,  Kovács F. ,  Máthé B. ,  Máthé Sarolta ,  Medgyesi A. ,  Meszéna G. ,  Németh J. ,  Nikodémusz A. ,  Oláh Vera ,  Pálfalvi Gy. ,  Pálffy L. ,  Pócsi Gy. ,  Prőhle P. ,  Sipos I. ,  Szabó Zs. ,  Szakács Erika ,  Szalai-Dobos István ,  Szecsői S. ,  Szekerka G. ,  Szelecki Gy. ,  Szemmelveisz Z. ,  Takács Judit ,  Takács Lajos ,  Ther A. ,  Vass Éva ,  Veres S. ,  Vető B. ,  Vladár K. ,  Vörös Z. 
Füzet: 1973/május, 209 - 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenletrendszerek grafikus megoldása, Irracionális egyenletrendszerek, Numerikus és grafikus módszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/október: 1380. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kívánt grafikonokban x és y értéktartományait az korlátozza, hogy sem a négyzetgyökjel alatt, sem a gyökvonás eredményeként nem állhat negatív szám, ezért

0≤x≤6és0≤y≤4.(3)
Az (1)-ből és (2)-ből így adódó
y=f(x)=(6-x)24(1')y=g(x)=4-x(2')


grafikonokat az ábra a) része vázolja, közös pontjuk van x=3, y=2,2 közelében. * (Több közös pont nem várható ‐ már amennyire függvényábrázolási gyakorlatunkból a parabola alakját ,,ismert''-nek tekinthetjük.
 

 

Ugyanis (2) írható az x=(4-y)2 alakban is, tehát ez a grafikon egy ,,vízszintes'' tengelyű parabola része.)
Az x=3 helyen az f és g görbék ordinátáinak különbsége (a négyzet, ill. négyzetgyök-táblázatból 3 tizedesjegyre):
f(3)-g(3)=2,25-2,268=-0,018,
negatív, itt már f görbéje alatta van a g görbéjének, tehát a metszéspontra x<3. Tegyünk próbát ezért egy kisebb értékkel, x=2,95-dal:
f(2,95)-g(2,95)=2,326-2,282=0,044,
pozitív, itt tehát még az f görbe van feljebb, vagyis az x gyök nagyobb 2,95-nál. Ezt az előbbivel egybevetve 2,95<x<3.
Erről a szakaszról eddigi 2‐2 pontunk alapján nagyított ábrát vázolunk (az ábra b) része). A görbék húrjainak metszéspontja kissé jobbra esik hálózatunk x=2,985-es abszcisszavonalától, most ezzel az értékkel próbálkozunk. Négyzetgyökének kerekített értéke a táblázat alapján 1,727, legföljebb 0,001 hibával, ebből egy, a 0,000 000 5-nál kisebb hibájú közelítő értéke a tankönyvből ismert iterációs eljárással
12(1,727+2,9851,727)=1,727715,
tehát g(2,985)=2,272285. Másrészt szorzással, 6 tizedesjegyre kerekítve f(2,985)= =2,272556, a g(2,985) értékkel szemben többlete van: +0,000271, tehát a keresett gyök még 2,985-nél is nagyobb.
Ezt a számítást ismételve
f(2,986)-g(2,986)=2,271049-2,271995=-0,000946<0,
tehát a gyök 2,985 és 2,986 között van. És mivel az újabb eltérés abszolút értéke több, mint az előbbi eltérés 3-szorosa, azért egyenletrendszerünknek 3 tizedesre pontos közelítő megoldása az előző számításban kapott
x(2,985)y(2,272értékpár
 

  C. Szabó István (Kisújszállás, Móricz Zs. Gimn. II. o. t.)
 

Megjegyzés. A gyakorlatban a nagyított ábra helyett is inkább számolunk: x=2,95-ről x=3,00-ra, azaz 0,05-dal növekedve az I. többlete 0,044-ről (-0,018)-ra csökken, azaz 0,062-del. Avégett tehát, hogy a csökkenés éppen 0,044 legyen, az x-et csak
0,0440,062⋅0,05=0,0355
-del kell növelnünk, azaz x=2,9855-re (természetesen egyenletes változást föltételezve) és így tovább.
*Egyes olvasók talán itt látják először az f(x) függvényjelölést; ezért ajánljuk nekik, hogy a szokásosan elnagyolt ,,ef iksz'' olvasásmód helyett inkább a lényegre valamivel jobban rámutató ,,ef függvénye x-nek'' olvasásmódra szokjanak rá. Itt f, majd a g az x-től való különböző függésmódokra mutatnak. (Gondoljuk meg, hogy fx-et is ,,ef iksz''-nek olvasnánk; akik viszont kerülik a félreértési lehetőségeket, itt ,,ef index iksz''-et mondanának.) Az alább következő f(3) helyes, félre nem érthető olvasása pedig: ,,ef a 3 helyen'', még jobban: ,,ef az x=3 helyen''. ‐ Hasonlóan: sin x: sinusa az x-nek. ‐ Idővel persze elég az ,,ef iksz'' is. ‐  Szerk.