Kezdőlap


Feladat:	1379. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Homonnay Géza , Telcs András
Füzet:	1972/április, 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/október: 1379. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszer alapszámát $N$ -nel jelölve

\begin{matrix} {(N - 1)}^{4} = {(N^{2} - 2 N + 1)}^{2} = N^{4} - 4 N^{3} + 6 N^{2} - 4 N + 1, \end{matrix}

ami így alakítható:

\begin{matrix} (N - 4) N^{3} + 5 N^{2} + (N - 4) N + 1. \end{matrix}

Itt az

N^{3}

N^{2}

és

N

hatványok az

N

-alapú számrendszer egységei, és ha

N \geq 6

, akkor

N - 4 > 0

, a számrendszerben használatos számjegy, úgyszintén 5 és 1 is.
Eszerint az

N^{2}

és

N^{0}

értékű helyen álló számjegy bármely

N \geq 6

alapszám esetén 5, ill. 1, az

N^{3}

és

N

értékű helyen álló számjegy pedig egyenlő egymással és 4-gyel kisebb a számrendszer alapszámánál. (

N = 10

esetén

9^{4} = 6561

Telcs András (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)

Homonnay Géza (Budapest, Arany J. Ált. Isk., 7. o. t.)

Megjegyzés. A fenti átalakítás lényegében azonos azzal a ‐ numerikus esetekben használatos ‐ eljárással, amely szerint más rendszerbe átszámítva egy pozitív egész számot, ennek az új rendszerbeli jegyeit úgy kapjuk, hogy osztjuk az új alappal először a számot, majd a hányadost és egymás után az újabb hányadosokat, majd jegyekként ‐ jobbról bal felé ‐ az egymás után fellépő maradékokat vesszük. Átszámításról azonban ebben az esetben mégsem lehet szó, mert algebrai kifejezések általában számrendszertől függetlenül vannak adva, itt pedig (1) ‐ ha egyáltalán valamilyen rendszerben van, akkor ‐ máris az

N

-alapú rendszerben van. Csak ki kell olvasni ennek az alaknak a számjegyeit ‐ hogy minden egyes

j

jegyre teljesüljön

0 \leq j < N

‐, ezt tettük meg a fentiekben.