Kezdőlap


Feladat:	1378. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1972/március, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/október: 1378. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A "JOLLY'' és " HOLLY'' számok ‐ mint ötjegyűek ‐ kisebbek, mint $10^{5}$ , hasonlóan "JUNE'' $< 10^{4}$ és "JON'' $< 10^{3}$ , így $s = J O L Y O N$ összegük kisebb, mint $211 000$ , tehát $s$ -nek $J$ számjegye 1 vagy 2.
Ezt tudva, finomítjuk becslésünket:

\begin{matrix} s < 3000 + 30 000 + 100 000 + 300 = 133 300, \end{matrix}

ezért

J = 1

, hiszen szám elején ebben az esetben nem állhat zérus, másrészt az

O

betű helyére nem kerülhet a 3-asnál nagyobb számjegy. Ennek alapján

\begin{matrix} s < 2000 + 14 000 + 94 000 + 140 = 110 140 < 120 000, \end{matrix}

tehát

s

-nek

10^{4}

értékű jegyére

O < 2

. Így

O \neq J

alapján

O = 0

, továbbá

H = 9

, hiszen

H = 8

mellett

\begin{matrix} s < 2000 + 11 000 + 81 000 + 110 = 93 110 \end{matrix}

volna, holott az eddigiek szerint

s > 102 000

, mivel már

L ≧ 2

. Így

U

L < 9

, és

\begin{matrix} s < 1900 + 10 900 + 90 900 + 110 = 103 810, \end{matrix}

tehát

s

-nek

10^{3}

értékű jegyére

2 ≦ L ≦ 3

, és

e

felső korlát alapján ismételve

\begin{matrix} s < 1900 + 10 400 + 90 400 + 110 = 102 810. \end{matrix}

Innen

L = 2

és

\begin{matrix} s < 1900 + 10 230 + 90 230 + 110 = 102 470 \end{matrix}

alapján

s

-nek

10^{2}

értékű számjegyére

3 ≦ Y ≦ 4

.
Belátjuk, hogy az eddigiek alapján az utolsó oszlopból a tízes oszlopba átvitt "maradék'' csak 1 lehet. Ugyanis egyrészt ez a maradék ‐

N

-et elhagyva az összegből is és a tagok közül is ‐ kerek tízes és

E + 2 Y ≧ 10

. Másrészt

3 ≦ E ≦ 8

és

Y ≦ 4

, így

E + 2 Y ≦ 16

. Tehát

E + 2 Y = 10

, ebből pedig

Y = 3

E = 4

, ugyanis az

Y = 4

föltevés

E = L

-re vezet.
A tízes értékű oszlopban hasonlóan

1 + N + 2 + 2

csak 1 maradékot adhat, ebből

N = 5

, végül a százas értékű oszlopból

1 + U + 2 + 2 + 1 = 10 + Y

-ból

U = 7

, és az újabb átvitellel az ezres oszlop is helyes. Mindezek eredményeként az adott séma kitöltése egyértelműen:

\begin{matrix} 1754 + 10223 + 90223 + 105 = 102305 \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Kevesebb jeggyel végezhetjük becslésünket, ha jobbról 4 oszlopot egy vonallal levágunk. Ekkor (

O

helyére félreértések elkerülése érdekében

Q

-t írva) QLLY és JUNE kisebbek

10^{4}

-nél, sőt egyikük

9 \cdot 10^{3}

-nél is, továbbá

J Q N < 10^{3}

ezért a vonaltól jobbra eső számok összege kisebb, mint

3 \cdot 10^{4}

, tehát a 4. oszloptól az 5-be átvitt

m_{4}

tízezres maradék legföljebb 2. Így a vonaltól balra

\begin{matrix} \bar{J Q} ≦ J + H + 2 ≦ 9 + 8 + 2 = 17, \end{matrix}

tehát

J = 1

, ennek alapján

\bar{J Q} ≦ 1 + 9 + 2 = 12

Q ≦ 2

.
Így viszont a vonaltól jobbra az összeg kisebb, mint

(2 + 3 + 3 + 1)

ezer, tehát

m_{4} = 0

, ezért

J + H ≦ 1 + 9 = 10

; másrészt

\bar{J Q} ≧ 10

, tehát

Q = 0

. Stb.
2. A

J < 2

eredmény alapján egyértelműen

J = 1

-et vettünk, erre épültek a továbbiak. Érkeztek megoldások

J = 0

kiindulással is :

\begin{matrix} 0976 + 05 112 + 45 112 + 057 = 051 257, \\ 0124 + 06 338 + 56 338 + 062 = 063 862. \end{matrix}

Ennek megengedése azonban kérdéseket vet föl : Mi a jelentése a számok elejére írt zérusnak? Miért nincs zérus a HOLLY összeadandó elején is ? És ha volna, miért nem JJJ JON a negyedik összeadandó ? Stb.