A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tükrözzük az háromszög és csúcsán átmenő magasságvonalait a oldal felezőpontjára (1. ábra). 1. ábra A kapott egyenesek metszéspontja az háromszög magasságpontjának -re vonatkozó tükörképe, jelöljük ezt a pontot -gal. Mivel az egyenesre -ben, és az egyenesre -ben emelt merőlegesek metszéspontja, azért a és pontok rajta vannak az szakasz feletti Thalész-körön, vagyis az háromszög köré írható kör, és az pont -beli átellenes pontja. Az -re való tükrözés a vektort a vektorba viszi át, így ezek a vektorok egymás ()-szeresei, tehát . Legyen a kör tetszőleges, az , , pontoktól különböző pontja (2. ábra). 2. ábra Alkalmazzuk eredményüket az háromszög magasságpontjára: , és az háromszög , magasságpontjára: . Így , eszerint az , szakasz a szakasznak az vektorral való eltolásból ered, tehát az egyenes párhuzamos -vel. Az , egyenes mindig határozott, hiszen és , távolsága egyenlő és távolságával. Nem használtuk fel, hogy a körülírt kör -re merőleges átmérőjének végpontja, eszerint az állítás minden pontjára érvényes, kivéve az háromszög csúcsait (hiszen úgy az háromszögek közül legalább az egyik nem lenne valóságos háromszög). Ha az -val átellenes pont, akkor az háromszögben -nél, az háromszögben -nél derékszög van, azonos -vel, azonos -vel (az eltolási vektor 0 vektor).
Hasenfratz Anna (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.) | Megjegyzés.A fenti megoldás szerint így az szakasz felezőpontjára (1. ábra) | | Mivel az háromszög köré írható kör átmérője, azért a középpontja. Ismeretes másrészt, hogy a háromszög súlypontjára teljesül (ahol helyébe a sík tetszőleges pontját írhatnánk), tehát vagyis a szakasz -hoz közelebbi harmadolópontja. Ez Euler tétele. Feladatunk állítása ennek a tételnek a segítségével is bizonyítható (ismét tetszőleges pontjára): legyen és rendre az háromszög súlypontja, Euler tétele alapján könnyen látható, hogy az viszont közvetlenül bizonyítható, hogy
Rózsás László (Nagykőrös, Arany J. Gimn., II. o. t.) | II. megoldás. Az előző megoldásban beláttuk, hogy az háromszög magasságpontjának a oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe azonos az köré írható kör -n átmenő átmérőjének másik végpontjával, -gal. Ebből következik, hogy -nek -re vonatkozó tükörképe is rajta van -n (1. ábra). Valóban, ha -t tükrözzük a szakasz felező merőlegesére, -nek -re (a két tükrözési tengely metszéspontjára) vonatkozó tükörképét kapjuk, tehát és tükrösek a kör átmérőjére, így is rajta van -n. Eszerint az , háromszögek , magasságpontjainak -re vonatkozó , tükörképei is rajta vannak -n (2. ábra). Így is, is merőleges -re ‐ hiszen pl. is, is merőleges rá ‐ , ezért és egy, a -ba beírt húrtrapéz alapjai, tehát ennek szára (esetleg átlója) a szárnak tükörképe a kör -re merőleges ‐ tehát -vel párhuzamos ‐ átmérőjére. Eszerint úgy áll elő -ből, hogy ezt előbb -re, majd a képét -re tükrözzük. Ámde két, egymással párhuzamos tengelyen való tükrözés eredménye előáll egyetlen eltolással, amely merőleges a két tengelyre és vektora 2-szer akkora, mint az első tengelyt a második tengelybe vivő eltolás. Így tehát , ezt kellett bizonyítanunk. Bebizonyítjuk a felhasznált állítást. Legyen a két párhuzamos tengely és , továbbá képe - re , és képe ,-re (3. ábra). 3. ábra Ekkor a egyenes merőleges -re és átmegy -n, mert merőleges -re, tehát -re is. Legyen metszésponkja -gyel , -vel . Ekkor úgy is előáll, hogy -t előbb -re tükrözzük, a kép nyilvánvalóan , és ugyanígy képe -re . Tudjuk viszont, hogy két pontra egymás után való tükrözés helyettesíthető kétszer akkora eltolással, mint amekkora az első pontot (-et) a másodikba (-be) viszi át. Az pedig már nyilvánvaló, hogy -et -be ‐ mindkettőre merőlegesen ‐ ugyanakkora eltolás viszi át, mint -et -be. (Az ábra bemutatja egy, a -n átmenő és a -et metsző egyenes , majd képét is, , és bármely pontját eltolás viszi át megfelelő pontjába. Ez a bizonyítás is érvényes -ként -nak bármely pontjára. Megjegyzés.Bár több érdekes megoldás érkezett annak a föltevésnek a felhasználásával is, amit helyzetére az eredeti kitűzés tartalmazott, ilyet mégsem közlünk, mert egy ilyen megoldás, a speciális helyzet kihasználásával, csak bonyolultabb lehet, mint anélkül. Lásd: Horvay Katalin-Pálmay Lóránt: Matematika a gimnázium I. osztálya számára. 4. kiadás. Tankönyvkiadó. Budapest, 1969. 323. oldal. |
|