A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az háromszög magasságpontját -mel, az , a és háromszög adott magasságpontját pedig rendre -vel, -vel, -vel. 1. Ha -ban a csúcsot -re cseréljük, az új, háromszög talpponti háromszöge ismét lesz, hiszen -nek és -nek -n levő vetülete azonos, és , alapján az és csúcsoknak a szemközti oldalon levő vetülete , illetve lesz. (1. ábra). 1. ábra A mondottakból az is következik, hogy az háromszög magasságpontja . Kivétel csak az az eset, ha -ban -nál vagy -nél derékszög van, hiszen ekkor az , , pontok nem határoznak meg háromszöget. Ha viszont nem derékszögű, akkor az , , , pontok különbözők, és bárhogy választunk ki e négy pont közül hármat, az ezek által alkotott háromszög magasságpontja a negyedik, és e háromszög talpponti háromszögének a helyzete nem függ attól, melyik három pontot választottuk az , , , közül. (A 3 talppont szerepe azonban cserélődik.) Ha hegyesszögű, akkor az , , háromszögekben -nél tompaszög van ‐ pl. ‐, ha pedig -ban valamelyik csúcsnál tompaszög van, akkor azt -re cserélve hegyesszögű háromszöget kapunk. Ha hegyesszögű háromszög, akkor magasságvonalai az talpponti háromszögben szögfelező egyenesek, hiszen a kerületi szögek és a merőleges szárú szögek tételei alapján például -ben: ; ennélfogva oldalai pedig -nek külső szögfelezői. Ha -ban ‐ mondjuk -nél ‐ tompaszög van, akkor az háromszög hegyesszögű, tehát ennek a magasságvonalai lesznek belső szögfelelezői, vagyis -re nézve az , oldal belső, az pedig külső szögfelező. Ezek szerint ha nem derékszögű, akkor az , , , pontok különbözők, nincs köztük három egy egyenesen levő pont, és a háromszög oldalegyeneseit érintő valamelyik kör középpontja, csúcsai pedig a másik három érintőkör középpontjai. 2. Az háromszög -ban összefutó oldalai a -ban is oldalak, ezért magasságpontja a -en át -gyel, -en át -gyel párhuzamosan húzott egyenesek metszéspontja, tehát párhuzamos és egyenlő -gyel, ugyanígy , másképpen mondva: az vektor az , vektorok összege (2. ábra): 2. ábra Hasonlóan | | Mérjük fel -ból kiindulva az vektort, legyen a végpontja , az szakasz felezőpontja pedig . Ekkor | | tehát az szakasz felezőpontja, és hasonlóan mutatható meg, hogy a , szakaszokat is felezi. Ezek szerint az háromszög az pontra vonatkozó tükörképe a -nek, és az tükörképe. Ezek alapján a oldalegyeneseit érintő 4 kör valamelyikének a középpontja, csúcsainak az -re vonatkozó tükörképe pedig további három érintőkörének a középpontja. A centrális szimmetriából az is következik, hogy a háromszögből ugyanúgy állítható elő, mint -ből: 3. Ezek szerint ha az , , pontok különbözők (és nincsenek egy egyenesen), akkor a szerkesztés menete a következő. Megrajzoljuk az háromszög belső és külső szögfelezőit, a kapott négy metszéspont közül egyiket -nak választjuk, a másik három közül az , , egyeneseken levőt pedig rendre -val, -vel, -vel jelöljük. Majd tükrözzük -t a szakasz felezőpontjára, kapjuk az pontot; az szakaszt megfelezzük, kapjuk az pontot. Végül az háromszöget -re tükrözve kapjuk a keresett háromszöget. 4. Ezzel az eljárással négy különböző, a követelményeknek megfelelő háromszöget kapunk. (A 2. és 3. ábrán ezek közül egyet‐egyet rajzoltunk meg.) 3. ábra Valóban, a szerkesztés szerint az háromszög talpponti háromszöge , magasságpontja , és | | Legyen a , , pontok -re vonatkozó tükörképe , , , akkor a tükrözés alapján az háromszög magasságpontja , és talpponti háromszöge , továbbá Ebből pedig a 2. pontban mondottak szerint következik, hogy az , , háromszögek magasságpontja rendre az adott , , pont. 5. Ha tehát az eredeti háromszög nem derékszögű, az adott három magasságpont mindig valódi háromszöget határoz meg, és egy valódi (nem elfajult) háromszögből négy különböző háromszöget állíthatunk vissza. (Az "eredeti'' háromszöget csak akkor tudnánk egyértelműen rekonstruálni, ha azt is tudnánk róla, hogy van-e tompaszöge, és ha van, melyik csúcsánál van az. Ehhez hozzáértjük, hogy az adott három pont meg van betűzve, azaz szerepük előre meg van határozva.) 6. Ha -ban ‐ mondjuk a csúcsnál ‐ derékszög van, akkor az , , pontok azonosak -vel, tehát az háromszög három csúcsa azonos. Így a magasságpont nem értelmezhető, nem jön létre. Az adott magasságpontokból eszerint csak akkor szerkeszthetünk megfelelő háromszöget, ha azok valódi háromszöget határoznak meg. (Akkor sem mondhatunk mást, ha esetén -t -vel azonosnak definiáljuk. Ekkor ugyan megengedhető, hogy két csúcsa ‐ mondjuk és ‐ azonos legyen, de ekkor végtelen sok megfelelő háromszög van, ezek egyik csúcsa a -vel azonos , a másik kettőt pedig egy tetszőleges, a -n átmenő merőleges egyenespár metszheti ki az -re -ben emelt merőleges egyenesből.)
A két ábrán az , , ponthármas egybevágó, csak az ábrák takarékos beállítása érdekében máshoz képest el vannak fordítva. |