A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Egyenletünk -re vonatkozóan másodfokú, -re legföljebb két megoldása van, és ha ezek valósak, különbözők és pozitívok, akkor -re 4 gyököt kapunk, amelyek páronként egyenlő abszolút értékűek. (1) így alakítható: | | Észrevéve, hogy együtthatója éppen egyenlő az ismeretlent nem tartalmazó tag két tényezőjének összegével (és hogy együtthatója 1), leolvasható, hogy -re a két megoldás és , tehát az egyenlet: (Ez az alak adódik természetesen az oldóképlettel is.) Így (1) gyökei és , amennyiben és . A gyökök növekvő rendben való felsorolása kétféle lehet. Ha , akkor és a felsorolás első, ill. negyedik tagja: | | és a követelmény akkor és csakis akkor teljesül, ha , azaz amiből ugyanis feltételünk a 3. különbség egyezését is biztosítja: (A talált mellett .) Ha pedig , akkor és a 2., ill. a 3. helyen áll:
Ezek szerint -nak két értéke felel meg: és .
II. megoldás. Az (1) egyenlet gyökeinek a négyzetei gyökei a | | (2) | másodfokú egyenletnek, a paraméter értékét tehát úgy kell megválasztanunk, hogy (2)-nek két különböző pozitív gyöke legyen. Jelöljük (2) kisebbik gyökét -val, nagyobbik gyökét -vel. Ekkor (1) gyökei nagyság szerint Úgy kell megválasztanunk értékét, hogy legyen, és teljesüljön (ebből már következik, hogy is teljesül), vagyis , legyen. A gyökök és együtthatók közti összefüggés szerint ekkor a (2) egyenlet együtthatóira
teljesül. A második szerint , ezt az elsőbe helyettesítve -ra a másodfokú egyenletet kapjuk, melynek gyökei: , , így keresett értékei: , . Mivel az -ra kapott értékek pozitívak, ezen értékei eleget tesznek a feladat követelményeinek. |