Feladat: 1367. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1971/december, 214 - 216. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/május: 1367. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egyenletünk x2-re vonatkozóan másodfokú, x2-re legföljebb két megoldása van, és ha ezek valósak, különbözők és pozitívok, akkor x-re 4 gyököt kapunk, amelyek páronként egyenlő abszolút értékűek. (1) így alakítható:

x4-(134+k)x2+94(k+1)=x4-(94+(k+1))x2+94(k+1)=0.
Észrevéve, hogy (-x2) együtthatója éppen egyenlő az ismeretlent nem tartalmazó tag két tényezőjének összegével (és hogy x4 együtthatója 1), leolvasható, hogy x2-re a két megoldás 9/4 és (k+1), tehát az egyenlet:
4(x2-94){x2-(k+1)}=0.

(Ez az alak adódik természetesen az oldóképlettel is.) Így (1) gyökei ±3/2 és ±k+1, amennyiben k+1>0 és k+1≠9/4.
A gyökök növekvő rendben való felsorolása kétféle lehet. Ha k+1<9/4, akkor (-3/2) és 3/2 a felsorolás első, ill. negyedik tagja:
x1=32,x2=-k+1,x3=k+1,x4=32,
és a követelmény akkor és csakis akkor teljesül, ha x3-x2=x2-x1, azaz
x1-2x2+x3=0,(2)
amiből
32+3k+1=0,k+1=14,k=-34,
ugyanis feltételünk a 3. különbség egyezését is biztosítja:
x4-x3=(-x1)-(-x2)=x2-x1 (A talált k mellett k+1>0.)
Ha pedig k+1>9/4, akkor (-3/2) és 3/2 a 2., ill. a 3. helyen áll:
x1=-k+1,x2=-32,x3=-x2,x4=-x1,x1-3x2=0,x1=3x2=92,k=(92)2-1=774.



Ezek szerint k-nak két értéke felel meg: -3/4 és 77/4.
 

II. megoldás. Az (1) egyenlet gyökeinek a négyzetei gyökei a
4y2-(4k+13)y+(9k+9)=0,(2)
másodfokú egyenletnek, a k paraméter értékét tehát úgy kell megválasztanunk, hogy (2)-nek két különböző pozitív gyöke legyen. Jelöljük (2) kisebbik gyökét a-val, nagyobbik gyökét b-vel. Ekkor (1) gyökei nagyság szerint
x1=-b,x2=-a,x3=-a,x4=b.
Úgy kell megválasztanunk k értékét, hogy a>0 legyen, és
x3-x2=x4-x3(3)
teljesüljön (ebből már következik, hogy x2-x1=x3-x2 is teljesül), vagyis 3a=b, b=9a legyen. A gyökök és együtthatók közti összefüggés szerint ekkor a (2) egyenlet együtthatóira
4k+13=4(a+9a),9k+9=4⋅9a2


teljesül. A második szerint k=4a2-1, ezt az elsőbe helyettesítve a-ra a
16a2+9=40a
másodfokú egyenletet kapjuk, melynek gyökei: a1=14, a2=94, így k keresett értékei: k1=-34, k2=774. Mivel az a-ra kapott értékek pozitívak, k ezen értékei eleget tesznek a feladat követelményeinek.