Feladat: 1366. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1971/december, 214. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/május: 1366. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A beiktatásokkal kapott An szám két szám összegére bontható:

An=99...9︸ndb700...0︸ndb299...9︸ndb9==99...9︸ndb700...0︸(2n+2)db+299...9︸(n+1)db,

vagyis An=Bn⋅102n+2+Cn, ahol
Bn=99...9︸ndb7ésCn=299...9︸(n+1)db.
A Bn, Cn számokat célszerű két-két szám különbségeként előállítani:
Bn=100...0︸n+1db-3=10n+1-3,Cn=300...0︸(n+1)db-1=3⋅10n+1-1.
Ezek szerint
An=(10n+1-3)⋅102n+2+3⋅10n+1-1==103n+3-3⋅102n+2+3⋅10n+1-1=(10n+1-1)3,
ami valóban egy egész szám (mégpedig az (n+1) db 9-essel felírt szám) köbe.