Kezdőlap


Feladat:	1364. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jeney Edit , Komornik Vilmos
Füzet:	1971/október, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek egybevágósága, Tengely körüli forgatás, Szabályos sokszög alapú gúlák, Térelemek és részeik, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/április: 1364. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szükségünk van a gúla alapélének és oldalélének arányára. Legyen a gúla hatélű csúcsa $G$ , egy alapéle $A B$ , a $G A B$ lapra $G$ -ben állított merőlegesnek az alapsíkon levő metszéspontja $K$ , továbbá $G$ -nek az alapsíkon levő vetülete $O$ . A gúla szabályossága folytán alaplapja szabályos hatszög és $O$ ennek a középpontja. A $G O$ tengely körüli $60^{\circ}$ -os elfordítás a gúla mindegyik lapját a következő lapba viszi át, ezért a szerkesztett merőlegeseket is sorba egymásba, az új hatszöget is önmagába, így $O$ annak is középpontja. A két hatszög egybevágósága alapján $O K = O A$ (1. ábra).

1. ábra

Legyen még az

A B

él felezőpontja

F

, ekkor az

S = G O F

sík az

A B

él felező merőleges síkja.

S

-en

K

is rajta van, mert

G A = G B

és

K G A ∢ = K G B ∢ = 90^{\circ}

alapján a

K G A

és

K G B

háromszögek egybevágók, tehát

K A

K B

átfogóik egyenlők. És mivel

G K

G A B

oldallap

G F

egyenesére is merőleges, azért

G K F

derékszögű háromszög (2. ábra), és így

\begin{matrix} tg G A B ∢ = \frac{G F}{A F} = \frac{2 \sqrt[]{F O \cdot F K}}{A B} = \frac{2 \sqrt[]{F O (F O + O A)}}{O A} = \\ = 2 \sqrt[]{\frac{F O}{O A} (\frac{F O}{O A} + 1)} = \sqrt[]{\sqrt[]{3} (\sqrt[]{3} + 2)} = 2, 542, \end{matrix}

G A B ∢ = 68^{\circ} 32'

, és ebből

A G B ∢ = 42^{\circ} 56'

, hiszen, mint ismeretes,

F O / O A = \sqrt[]{3} / 2

2. ábra

A 2. ábra két vetületben mutatja a testet, továbbá

A B G

lapját és

A G K

metszetét az alapsíkba forgatva.

Komornik Vilmos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

Jeney Edit (Elek, Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések, 1. Lényegében ugyanígy

\begin{matrix} sin G A B ∢ = \frac{G F}{G A} = \frac{G F}{G K} = \sqrt[]{\frac{F O \cdot F K}{K O \cdot K F}} = \sqrt[]{\frac{F O}{K O}} = \sqrt[4]{\frac{3}{4}} . \end{matrix}

2. Számíthatunk abból is, hogy

A K G

egyenlő szárú derékszögű háromszög, és átfogója az

A K F

háromszögben is átfogó, a befogók pedig ismertek.
3. Gúlánkon az oldalélek és az alaplap közti szög egyenlő az oldalélek közti szöggel. Valóban, az oldallap területének kétféle kifejezése alapján, majd az

F K G

derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} sin A G B ∢ = \frac{A A'}{A G} = \frac{B G \cdot A A'}{A G^{2}} = \frac{A B \cdot F G}{K G^{2}} = \frac{K O \cdot F G}{K O \cdot K F} = \frac{F G}{K F} = sin F K G ∢ . \end{matrix}

Vigassy Lajos