|
Feladat: |
1360. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ábrahám L. , Ábrahám T. , Ádám S. , Balázs Á. , Bánsági P. , Bara T. , Bartolits J. , Bezdek K. , Boruzs Mária , Buza A. , Császár Gy. , Dávid Z. , Deák P. , Ditrói Gy. , Domokos Mária , Fazekas l. , Fukker B. , Gulyás Erzsébet , Handbauer R. , Hasenfratz Anna , Horváth Eszter , Horváth Gyöngyi , Horváth József , Horváth Mária , Illés Z. , Izsák Éva , Juhari Katalin , Juhász Gy. (Bp.) , Kanyó Mária , Kereszti Gy. , Kósa Zsuzsa , Kószó K. , Kovács T. , Kuhár J. , Labancz L. , Lakner P. , Lóska A. , Meszéna G. , Molnár Gy. , Nagy Barnabás , Nemes K. , Németh J. , Oláh Vera , Pálffy L. , Párkány Katalin , Péntek J. , Prőhle T. , Remsei F. , Rövid Kálmán , Schwarcz T. , Somogyi Á. , Sparing L. , Stocker Gy. , Szalay I. , Szaplonczay Sarolta , Szilágyi I. , Terlaky T. , Uzonyi Gy. , Wéber J. , Wettstein I. |
Füzet: |
1971/december,
211 - 214. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algoritmikus eljárások, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1971/április: 1360. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. I. Legyenek a kívánt szám számjegyei rendre , eszerint a számjegy -szor fordul elő. Másféle jegye nem lehet (a tízes számrendszerben felírt) számnak, így a jegyek együttes száma egyrészt annyi, mint a számjegyek összege, másrészt az előírás szerint tíz, tehát Megmutatjuk, hogy nem léphet föl -ben sem 7-es, sem ennél nagyobb jegy. Föltéve ugyanis, hogy van ilyen ‐ jelöljük -val, vagyis ‐, akkor is csak szerepét kaphatja, mert már a szerepben is legalább egy jegyet és db 1-est jelent, ami nem kevesebb, mint 14. Ha pedig a jegynek szerepét adjuk, akkor a zérusnál nagyobb jegyek száma , és ez legföljebb 3. Közülük egyik maga , egy másik , aminek az értéke pontosan 1, végül emiatt is pozitív, és több pozitív számjegy részére még esetén sincs helyünk, azaz , ha , és . Ámde értékének legalább 2-nek kell lennie, hiszen ellentmondás, amikor értéke is 1; másrészt , tehát , és így is pozitív, holott már zérus áll a helyén. Állításunkat ezzel bebizonyítottuk. Lényegében ugyanez a meggondolás egy megfelelő számot ad, ha értékét 6-ra csökkentjük. Így ugyanis helyre kell zérusnál nagyobb számjegyet írnunk, és ezek: , , továbbá az előbbi ellentmondás feloldódik, ha -ként 2-t írunk be, mintegy előlegként, arra gondolva, hogy az így beírt 2-es címén szerepét adjuk az előlegezett, a második 1-esnek. Ezek szerint -ben egy megfelelő számot találtunk, és ezzel eleget tettünk a feladatból a tízes számrendszerre vonatkozó résznek. II. Mivel az alapú számrendszerben -féle számjegyet használunk: , azért mindegyik fajta számjegy előfordulási számát csak úgy tüntetheti föl maga a szám, ha jegyeinek száma legalább . Másrészt több sem lehet -nél, eszerint a feladat általánosítása: ,,Keressünk az -alapú számrendszerben olyan -jegyű számot, amelyben a -edik számjegy azt mutatja, hányszor szerepel a számban a -es számjegy''. Könnyű ellenőrizni, hogy a következő szám mindig megfelel: | | (ami esetén éppen a fenti -et adja), hacsak a közbülső zérusok száma teljesíti az , azaz követelményt, ekkor ugyanis , és ez mint számjegy nem változtathatja meg és értékét. esetén ben , emiatt az eddigi jegy ugyanarra a helyre kerülne, ahol a áll, tehát az eddigi nem érvényes, de akkor sem, ez tehát ellentmondás. A megoldás I. részéhez hasonlóan be lehet látni, hogy a 6-os számrendszerben más megoldása sincs a feladatnak. (Ugyanis és nem fordulhat elő , sem nagyobb jegy.) Hasonlóan kapjuk, hogy esetén az egyetlen megoldás, esetén könnyen adódik két megoldás, és , végül és esetén nincs megoldás.
Juhari Katalin (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.) |
Rövid Kálmán (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t) | Megjegyzés. Az I. rész folytatásával könnyen belátható, hogy a tízes számrendszerben nincs több megoldás -re.
II. megoldás. I. Jelöljük a keresett szám első jegyét -lal, a másodikat -gyel, és így tovább, végül a tizediket -cel. E jegyek összege annyi, ahány jegy összesen van, tehát Kiszámíthatjuk a jegyek összegét másképp is: a -val egyenlő jegyek összege , tehát | | (2) | Ezekből Legyen röviden , akkor a -val egyenlő jegyek száma legalább 1, vagyis . Így ellentmondásra vezet, tehát . Jelöljük (3) jobb oldalán a -tól különböző tagok összegét -sel, ekkor (3) ekvivalens a egyenlettel. Ebből rendezve és szorzattá alakítva és a bal oldal mindkét tagja nemnegatív egész szám; tehát közülük az egyik , a másik . a) Amennyiben | | (5) | akkor (3) jobb oldalából -t elhagyva a visszamaradó tagok összege 1. Ez csak úgy lehet, ha és emiatt , továbbá a többi tag 0-val egyenlő. (6) szerint legalább egy 1-es van, és mellett még egy 1-es volna, ami ellentmondást jelentene, így Ebből (azaz ) mellett az számot kapnánk, ami nem felel meg. Ha , akkor és (5) szerint tehát az jegyek között a (6), (7), (8) alattiak különböznek -tól, így Az így kapott szám megfelel a feladat követelményeinek. b) Ha pedig akkor , és vagyis . Így (3)-ból , (1)-ből következik, a szám azonban nem megoldás. Tehát feladatunknak egyetlen megoldása a szám.
II. Az alapú számrendszerben olyan számot keresünk melynek a jegyei között a -vel egyenlőek száma , Ekkor a fentiekhez hasonlóan juthatunk el a (4) egyenletig, melyből az a) esetben ismét (5), (6) és (7) következik. A értéknek megfelelő szám csak mellett ad megoldást. Ha , akkor ismét (8)-at kapjuk. Az összeg értéke miatt legalább 7, tehát ezekből az értékekből csak mellett kapunk megoldást. Ha , (9) helyett a feltételt kapjuk, és az | | (12) | számjegyek. megfelelő számot határoznak meg. Az általános esetben a b) feltételből ugyancsak és (11) következik, továbbá értékére -et kapunk. Az | | számjegyek azonban csak és mellett adnak megoldást. Ha tehát , akkor a feladatnak nincs megoldása, mellett két megoldása van: és , mellett egy megoldás van: , Mellett ugyancsak egy megoldás van, amelyet a (12) alatti számjegyek határoznak meg. |
|