A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás (szerkesztéssel). A feladat föltevései távolsági arányokat és egy szöget tartalmaznak, és a kérdés is szögre vonatkozik, így az alakzat tetszés szerint nagyítható. Fölvéve tetszőlegesen az átfogót és kijelölve , harmadoló pontjait úgy, hogy , a csúcs mértani helye egyrészt az átmérőjű Thalész-félkör az egyenessel kettévágott sík egyik, félsíkján, másrészt az szakasz nyílású látóköríve, és a szakasz nyílású látóköríve, ugyancsak az félsíkon (. ábra, lásd a . oldalon). 1. ábra . Ezek szerint ha adott, akkor megfelelő helyzetét -nak és -nek az -tól különböző közös pontja adja, és a , félegyenesek közti szög. A szerkesztés helyessége nyilvánvaló. Eljárásunk egyértelműen megadja -t, természetesen a nyilvánvaló esetre szorítkozva, ekkor ugyanis -nek -beli félérintője ‐ az érintőjének -beli félegyenese tompaszöget -et) zár be az félegyenessel, ezért -nek van pontja -n kívül, végpontja viszont belül van a -n. Meggondolásunk és szerkesztésünk akkor is érvényes, ha -et úgy értelmezzük, hogy a -hez közelebbi harmadolópontja az átfogónak, így azonban más lesz értéke. Itt jegyezzük meg mindjárt, hogy határozta meg magának az háromszögnek a hegyes szögeit is. 2. Ha pedig adott, akkor -ként és közös pontjai jönnek tekintetbe, és a , félegyenesek közti szög lesz. A közös pontok száma , , ill. aszerint, hogy metszi vagy érinti -t, ill. hogy minden pontja belsejében van. -nak és -nek közös szimmetria tengelye az és szakaszok közös felező merőlegese, így a mondott érintés csak -nek -n levő pontjában lehetséges. Ezt felhasználva és közös pontjainak száma aszerint lesz , , ill. , hogy kisebb, ill. egyenlő, ill. nagyobb, mint a , vagyis annak az egyenlő szárú háromszögnek a szárszöge, melyben az alap és a magasság aránya . Más szóval, aszerint, hogy | | (1) | Két közös pont, és esetén a szimmetria alapján az egyenlő a -gel. Mondhatjuk tehát azt is, hogy -re szorítkozva és a feladat második részének megoldása, továbbá e két megoldás egyenlő, ha az -ben adódik, végül nincs megoldás -re, ha -re sincs megoldás.
Borusz Mária (Tata, Eötvös J. Gimn., II. o. t.) |
Mérő László (Tatabánya, Árpád Gimn., II. o. t.) |
Megjegyzések. 1. Könnyű utánaszámítani, hogy határszögét megadja a , , egységnyi oldalú (derékszögű) háromszög legkisebbik szöge is. 2. Könnyen általánosíthatjuk a megoldást arra az esetre, ha tetszőleges adott szög; az föltétel módosulásának vizsgálatát az olvasóra hagyjuk. 3. Adott esetében célhoz vezet a következő szerkesztés is. A félegyenesre (ugyanazon oldalán) fölmérjük -et, új szára ( a szár egy tetszőleges pontja) és az ismert szöget (. ábra). -n át párhuzamost húzunk -vel, ennek metszéspontja -val , ekkor -et -ből -szeresére nagyítva kapjuk -t, ennek tükörképe -re , és ezzel megkaptuk a szöget. 2. ábra II. megoldás (számítással). Legyen és merőleges vetülete -n , , így és (. ábra), tehát
Adott ‐ természetesen ‐ esetén innen pozitív, és ‐ mint hegyes szög ‐ egyértelműen meg van határozva. Ha viszont adott, akkor átrendezéssel
valós megoldás létezésének föltétele | | (3) | és egyenlőség esetén két értéke egyenlő. Az egyenlőtlenség teljesülése esetén -nek mindkét megoldása, és megfelel, mert pozitívok, hiszen szerint összegük is, szorzatuk is pozitív: | | Azt is látjuk ezekből, hogy a -nek pótszöge: | | tehát , vagyis adott esetén -re ugyan két gyököt is kapunk, de ezek ugyanannak a háromszögnek rész-szögei. Amennyiben az átfogó pontjainak sorrendje , , , , úgy helyére lép, , ekkor ( kétszer fedett), a számítás hasonlóan végezhető, a valós megoldás létezésének föltétele ‐ a szimmetria alapján ‐ ismét , csak egy megoldás van. Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy jelöléssel fennáll , ennek alapján is végezhetjük számításainkat, eleve tudva, hogy és a feladat . részének . megoldása. |