Kezdőlap


Feladat:	1355. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sparing László
Füzet:	1971/szeptember, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Másodfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/március: 1355. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $x \geq 1$ és $y \geq 1$ , azért mind a három nevező pozitív, szorzatukkal szorozva $(1)$ -et, vele ekvivalens egyenletet kapunk. Beszorzással, átrendezéssel

\begin{matrix} 0 = x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y + x^{2} - 2 x y^{2} + 2 x y + y^{2} = {(x y - x - y)}^{2}, \end{matrix}

ez pedig akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} x y - x - y = 0, másképpen \\ (x - 1) (y - 1) = 1. & (2) \end{matrix}

A bal oldal tényezői nem-negatív egész számok, ezért az egyenlet csak úgy teljesül, ha mindkét tényező értéke

1

, tehát az egyetlen megoldás

x = y = 2

Sparing László (Szombathely, Tolbuhin úti Ált. Isk., 8. o. t.)

Megjegyzés. Ha

(1)

megoldásait az egész számok körében keresnénk, a

(2)

bal oldalán álló tényezők

(- 1)

-gyel is egyenlők lehetnének, amiből az

x = y = 0

újabb gyököt kapnánk.