Kezdőlap


Feladat:	1354. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bicsák L. , Boros P. , Boruzs Mária , Császár Gy. , Domokos Mária , Handbauer R. , Hasenfratz Anna , Jeney Edit , Lukács G. , Máthé Sarolta , Meszéna G. , Oláh Vera , Prőhle P. , Schvarcz T. , Szalay Imre , Szalay Péter , Vass Éva
Füzet:	1971/szeptember, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Tizes alapú számrendszer, Szakaszos tizedestörtek, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/március: 1354. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a hányados egész része $k$ , azaz

\begin{matrix} \frac{EDE}{VIV} = k, GYŐZ  GYŐZ  G ... \end{matrix}

továbbá a

k

megállapítása utáni maradék

r

(nem a jegyekkel megadva) vagyis

\begin{matrix} EDE - k \cdot VIV = r \end{matrix}

Az a követelmény, hogy a tizedes vessző utáni

G

jegy, valamint a rá következő

Y

Ő

Z

az ötödik és további jegyekben megismétlődjék, akkor és csak akkor teljesül, ha a negyedik (a

Z

) tizedesjeggyel végzett mellékszámítás után a maradék ismét

r

. A négy db

0

jegy ,,levétele'' összefogfalva azt jelenti, hogy

10000 \cdot r

-et a

V I V

számmal osztva hányadosul a

GYŐZ

számot és maradékul ismét

r

-et kapjuk:

\begin{matrix} 10000 r = V I V \cdot GYŐZ + r, \frac{r}{V I V} = \frac{GYŐZ}{9999} . Eszerint \\ \frac{E D E}{V I V} - k = \frac{E D E - k \cdot V I V}{V I V} = \frac{r}{V I V} = \frac{GYŐZ}{3^{2} \cdot 11 \cdot 101} . & (2) \end{matrix}

Az utolsó tört az előtte álló törtnek bővített alakja, tehát a háromjegyű

V I V

szám osztója

9999

-nek.

9999

-nek a

101

-es tényezőt nem tartalmazó legnagyobbik osztója

3^{2} \cdot 11 = 99

, csak kétjegyű, azért

V I V

, ami háromjegyű, osztható a

101

-gyel. Tehát

V I V

101

303

és

909

valamelyike, mindegyikük

V I V

alakú, így az

I

betű helyére mindenesetre a

0

számjegy lép,

V

értéke pedig

9

1

vagy

3

. E három lehetőséget ebben a sorrendben külön-külön tekintjük, de mindjárt együtt kimondjuk, hogy így

(2)

-ben a bővítő tényező rendre

11

99

ill.

33

a)

V = 9

esetén

E < V

(hiszen

E \neq V

), így

k = 0

r = E D E

, viszont a

11 r = 11 \cdot E D E = GYŐZ

egyenlőség lehetetlen, mert a bal oldal utolsó jegye

E

, a jobb oldalé pedig

Z

b)

Hasonlóan két betű egyenlőségére vezet a

V = 1

értékkel való próbálkozás is. Ekkor ugyanis egyrészt

99 r = GYŐZ

, másrészt

(1)

-ből

101 (E - k) + 10 D = r

és

r < V I V = 101

alapján

E - k = 0

, tehát

r = 10 D

. Ezeket egybevetve

990 D = GYŐZ

, és

Z = 0 = I

, amint mondottuk. Ezek szerint csak

V I V = 303

fölvételével várható megoldás.

c)

V = 3

esetén föl fogjuk használni, hogy

r

-nek százas és egyes helyi értékű jegye egyenlő (ide értve azt is, ha

r

csak kétjegyű, és a mondott két számjegye zérus). Ez

k = 0

, azaz

E < V

esetén maga

E

, ha pedig

k > 0

, akkor

(1)

bal oldalán a százas helyi értékbeli számjegyek alapján

E \geq 3 k

, s mivel ugyanezek állnak az egyes értékű helyeken is, azért az

(1)

kivonás valóban maradékátvitel nélkül végezhető el:

r = E^{*} D E^{*}

, ahol

E^{*} = E - 3 k

.
Ez az

r

a

k > 0

esetekben is relatív prím a

V I V = 303

nevezőhöz képest, különben ugyanis

1

-nél nagyobb közös osztójukkal

E D E

is osztható volna. Másrészt

r < V I V

alapján

E^{*} < 3

. Nem lehet azonban sem

E^{*} = 0

, sem

E^{*} = 1

, mert a

Z = 0 = I

, ill.

Z = 3 = V

egyenlőségre vezetnek, tehát csak az

E^{*} = 2

értékről lehet szó.
Ekkor

\bar{2 D 2} \cdot 33 = GYŐZ

-ból

Z = 6

és

D

1

4

5

7

8

9

számjegyek valamelyike. Mármost

D = 5

és

8

esetén

r

nem relativ prím

303

-hoz képest,

D = 1

és

9

esetén a

33 r

szorzatnak nem mindegyik számjegye különböző,

D = 7

esetén

Ő

7

-nek adódik. A maradó

D = 4

érték pedig megfelel:

\begin{matrix} 242 : 303 = 0, 7986 7986 7 ..., \end{matrix}

hiszen a hányados egész részét nem korlátozza a számjegyek különbözőségének követelménye.
Megfelel a

k = 1

hozzáadásával adódó

E D E = 545

érték is:

545 : 303 = 1, 7986 7986 7 ...

, viszont

k = 2

hozzáadásával

E = 8 = Ő

, foglalt számjegy.