Kezdőlap


Feladat:	1345. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/szeptember, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Terület, felszín, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/január: 1345. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két megrajzolt húr $A B$ és $C D$ , metszéspontjuk $M$ , a kör középpontja $O$ , sugara $r$ .

1. ábra

A O B

és

C O D

körcikkek negyedkörök, így a keletkezett (

O

-t nem tartalmazó) körszeletek területe (1. ábra):

\begin{matrix} \frac{π}{4} r^{2} - \frac{1}{2} r^{2} = \frac{π - 2}{4} r^{2} (= 0, 2854 r^{2}) . \end{matrix}

A két szelet közös,

B C M

részét a

B C

húrral egy szeletre és egy háromszögre osztjuk. A szelet az

O B C

háromszög területével kisebb, mint az

O B C

körcikk területe. Az

O B C

háromszög

O C

szára

r

, a rá merőleges

B B'

magassága

r / 2

, hiszen az

O B B'

háromszög fele egy szabályos háromszögnek (harmadik csúcsa az óraszámlap

1

-es osztáspontja), a körcikk pedig

12

-ed része a körnek, így a

B C

szelet területe:

\begin{matrix} \frac{π}{12} r^{2} - \frac{1}{4} r^{2} = \frac{π - 3}{12} r^{2} = (0, 0118 r^{2}) . \end{matrix}

B C M

háromszög

B

-nél és

C

-nél levő szöge

30^{\circ}

, mert száraik közt a körvonal

\hat{A C} = \hat{B D}

hatodrészét látjuk. Ezért az

M

-nél levő szöge

120^{\circ}

, tehát a háromszöget

M

körül kétszer egymás után

120^{\circ}

-kal elfordítva,

B C

oldalú szabályos háromszöget kapunk. Ebben

\begin{matrix} B C^{2} = B B'^{2} + C B'^{2} = {(\frac{r}{2})}^{2} + {(r - \frac{\sqrt[]{3}}{2} r)}^{2} = (2 - \sqrt[]{3}) r^{2}, \end{matrix}

így a

B C M

háromszög, majd a felosztás

B M C

határvonalú részének területe

\begin{matrix} \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{4} B C^{2} = \frac{2 \sqrt[]{3} - 3}{12} r^{2}, t_{1} = \frac{π + 2 \sqrt[]{3} - 6}{12} r^{2} (= 0, 0505 r^{2}) . \end{matrix}

Ennek alapján a felosztás

A M C

és

B M D

határvonalú része egyenként

\begin{matrix} t_{2} = \frac{π - 2}{4} r^{2} - \frac{π + 2 \sqrt[]{3} - 6}{12} r^{2} = \frac{π - \sqrt[]{3}}{6} r^{2} (= 0, 2349 r^{2}), \end{matrix}

végül a

D M A

rész mint maradék

\begin{matrix} t_{3} = \frac{7 π + 2 \sqrt[]{3} - 6}{12} r^{2} (= 2, 6213 r^{2}) . \end{matrix}

Megjegyzés. Az

O B C

háromszög területéből adódik az a jól ismert eredmény, hogy az

r

sugarú körbe írt szabályos

12

-szög területe

3 r^{2}

, vagyis egyenlő egy

\sqrt[]{3} r

oldalú négyzet területével. Ezt annak kapcsán említjük meg, hogy nemrég láttuk ennek szép átdarabolásos bizonyítását a 2. ábra szerint a Zágrábban megjelenő Matemati

\overset{ˇ}{c}

ko-Fizi

\overset{ˇ}{c}

ki List 1972. őszi számában (23. kötet 1. szám).

2. ábra

O B C

háromszög felosztása emlékeztet az átdarabolás Kürschák-féle megoldására is (3. ábra).

3. ábra

Egy további megoldás látható Rátz László Matematikai Gyakorlókönyvének II. részében (Franklin Társulat kiadása, Budapest, 1905), melynek átdolgozott kiadása: Tolnai Jenő: Érdekes matematikai gyakorló feladatok II. (Tankönyvkiadó, Budapest, 1971), 51. feladat a 72. oldalon.