Kezdőlap


Feladat:	1342. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gáll Márton
Füzet:	1971/november, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/január: 1342. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Törtünk így alakítható:

\begin{matrix} \frac{n^{2} + 2}{n^{2} + n} = \frac{n^{2} + n - n + 2}{n^{2} + n} = 1 - \frac{n - 2}{n (n + 1)}, \end{matrix}

tehát akkor és csak akkor nem egyszerűsíthető, ha az utolsó alak második törtje ‐ jelöljük

t

-vel ‐ nem egyszerűsíthető.

t

csak az

(n - 2)

számnak valódi (azaz

1

-nél nagyobb) olyan osztójával egyszerűsíthető, amely egyszersmind vagy külön az

n

-nek, vagy pedig külön az

(n + 1)

-nek is osztója, ugyanis olyan osztója nem lehet

(n - 2)

-nek, amely

n

-nek is és

(n + 1)

-nek is osztója volna, hiszen az utóbbiaknak, két szomszédos természetes számnak, nincs valódi közös osztója.
Mármost

n

és

(n - 2)

valódi közös osztói egyszersmind különbségüknek,

2

-nek is osztói, vagyis

\frac{n - 2}{n}

egyszerűsítése akkor és csak akkor nem lehetséges, ha

n

nem osztható

2

-vel, az

n : 2

osztás maradéka

1

.
Hasonlóan

(n + 1)

és

(n - 2)

valódi közös osztója csak

3

lehet ‐ különbségüknek,

3

-nak egyetlen valódi közös osztója ‐, tehát

\frac{n - 2}{n + 1}

akkor és csak akkor nem egyszerűsíthető, ha

n + 1

nem osztható

3

-mal. Más szóval: ha az

(n + 1) : 3

osztás maradéka

1

vagy

2

, vagyis ha az

n : 3

osztás maradéka

0

vagy

1

.
A két feltétel egybefoglalható, ha

n

-nek

2

-vel és a

3

-mal való osztási maradéka helyett a

2 \cdot 3 = 6

-tal való osztási maradékát tekintjük. Ebből a szempontból minden egész szám a következő

6

alak valamelyikébe tartozik:

6 k

(6 k + 1)

(6 k + 2)

(6 k + 3)

(6 k + 4)

(6 k + 5)

, ahol

k

egész szám. Az első föltételnek csak a 2., 4. és 6. alak felel meg, a másodiknak az 1., 2., 4. és 5. alak, tehát mindkettőnek csak a 2. és 4. alak. Mindezek szerint a vizsgált tört az

n = 6 k + 1

és az

n = 6 k + 3

alakú természetes számok esetében nem egyszerűsíthető, minden egyéb esetben egyszerűsíthető.

Gáll Márton (Budapest, Arany J. Gimn. és Ált. Isk., 8. o. t.)