A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Az egy-egy sorba beírt négy szám szorzatát -vel jelölve a felhasználandó 16 szám szorzata , eszerint úgy kell kiválasztanunk a közül a számot, hogy törzstényezős alakjukból szorzatuknak ugyancsak a törzstényezős alakját felírva, minden egyes törzsszám kitevője osztható legyen -gyel. Emiatt nem fordulhat elő, -ben és nála nagyobb törzsszám, tehát , , , , , , , nem választható ki. A további szám szorzata . Fordítsuk figyelmünket az -ös törzsszámra, ennek kitevőjét vagy -re vagy -ra kell leszállítanunk a még kihagyandó szám révén, és így magában -ben csak vagy lehet az kitevője. Ezért mindenképpen mellőzendő a , továbbá az , , , és közül vagy egyikük vagy mind az öt. Az utóbbi eset mindjárt megfelelő kiválasztás, mert e szám szorzata , így -re marad és . Az első eset pedig megvalósítható például úgy, hogy előbb kihagyjuk a -tel osztható számokat ‐ ekkor az eddig kihagyott öt szám szorzatával osztva -t, a hányados ‐, utolsó elhagyandónak a számot vesszük, és ekkor , . Egy más lehetőség, hogy (a -tel oszthatók helyett) a , , és számokat mellőzzük, ekkor . (Nem kell előállítanunk minden lehetőséget!) Eszerint három kiválasztási lehetőséget is találtunk a felhasználandó számra:
(I.)1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 27, 28;
(II.)1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 27;
(III.)1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 28;
a (II.) csak abban különbözik az (I.)-től, hogy a -es tényezők helyén -ös áll. b) úgy érezzük, hogy az (I.) számkészletből legkényesebb a -as tényezők elhelyezése, ugyanis a -nel egy sorba és egy oszlopba nem kerülhet többszöröse. Van még olyan számunk, melyben a kitevő , és olyan, amelyben . Sikert sejtet, hogy e kitevők elhelyezhetők a sorban és oszlopban úgy, hogy összegük mindenütt (az üres helyekre -t írtunk, 1. ábra). Hasonlóan , , , darab számunkban a -es törzsszám kitevője rendre , , , ill. , ezekből a 2. ábra szerint lehet mind a vonalon -öt kihozni összegül, az elrendezést döntően befolyásoló számokat vastag számjegyekkel írtuk. Az utóbbi ábrán a 3. oszlopot a többiek elé, majd a 3. sort a többiek alá toltuk, az így kapott számelrendezést írtuk a 3. ábra megfelelő helyein a -es törzsszám kitevőjének, az 1. ábra számait hasonlóan a -as törzsszám kitevőjének és ahol mindkét ábrán áll, oda -est írtunk be. Ebben az állapotban két-két mezőn áll , , és .
A két-két előfordulás közül egyik-egyik 2-féleképpen is kiválasztható úgy, hogy a kiválasztott négy szám mindegyike más sorból és más oszlopból való. Az egyik ilyen szám négyes mezőire írtuk be a 7-es tényezőket. Ebben az alakban könnyen ellenőrizhető a kívánt szorzatok egyenlősége, a 4. ábrán pedig ‐ végeredményként ‐ tízes rendszerbeli alakjukban írtuk a számokat. Új megoldást kapunk, ha egyidejűen fölcseréljük egymással a következő négy számpár tagjait: (1,7), (2,14), (3,21), (4,28). c) Könnyű ellenőrizni, hogy a 3. ábra elrendezésében nem lehet a sorok és az oszlopok sorrendjét úgy cserélgetni, hogy a két átló mentén álló négy-négy szám szorzata is 25⋅33⋅7 legyen, mert már az 1. ábra ilyen változtatásával sem lehet 3-at összegül kihozni az átlókra. Sor- és oszlopcserékkel ugyanis az 5. ábra átlós számaiból alkotott két négyzetes keret mindenesetre két téglalapba menne át ‐ amilyenek pl. a 6. ábra szerintiek ‐, vagyis amelyeknek 8 csúcsa közt mindegyik oszlop és sor 2‐2 számmal szerepel. Az 1. ábrán pedig nem található ilyen keret úgy, hogy a rajtuk álló kitevők összege 2⋅3=6 legyen.
5. ábra 6. ábra
71820272⋅3222⋅52 1042162⋅5223⋅72⋅3 3512283522⋅322⋅7 241411523⋅32⋅713⋅57. ábra8. ábra
d) A III. számkészletből a 7. és 8. ábra olyan elrendezést mutat, amelyben a szorzatok egyenlősége (a 2, 3, 5 és 7 törzstényezők kitevői összegének egyenlősége) még a két átlón is teljesül, tehát a feladat kérdésére a válasz igenlő. Először a 7-es tényezőket helyeztük el a 8. ábrán, minden sorba, oszlopba, átlóba egyet. Az 1. sor 7-esét a bal felső sarokba téve, a 2. sorbeli 7-es csak a 3. vagy a 4. oszlopban állhat, mert a jobbra lejtő átlóban már nem állhat. A 2. sor 3. oszlopát választva, a 3. sor 7-ese már csak a 4. oszlopban lehet, a 4. soré pedig a 2. oszlopban. Ha pedig a 2. sor 7-esét a 4. oszlopba tettük volna, a talált elhelyezés tükörképét kapnók a jobbra lejtő átlóra. Ugyanilyen lehet csak az 5-ösök elosztása is, elforgatva vagy tükrözve, de 5 és 7 nem kerülhet egy mezőbe. Tovább a 18-as szám 32 tényezőjével és a 24-esnek 23 tényezőjével haladtunk, lényegében a 3. ábra szerinti próbálgatásokkal.
Benkó Zoltán (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t. ) |
Butor Dezső (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.) |
Újfalussy Miklós (Pannonhalma, Bencés Gimn., I. o. t.) | Megjegyzés. Előállítható a 8. ábra abból az észrevételből is, hogy a III. számkészletet éppen az a 16 szorzat alkotja, amelyeket akkor kapunk, ha az {1,2,3,4} halmaz számait rendre megszorozzuk az {1,5,6,7} halmaz számaival (9. ábra). 9. ábra Mindig megfelelő elrendezését kapjuk III. számainak a 10. ábrából, ha egyrészt az a, b, c, d betűk helyére valamilyen sorrendben az 1, 2, 3, 4 számokat helyettesítjük, másrészt ugyanígy x, y, z, u helyére az 1, 5, 6, 7 számokat. A 10. ábrán minden egyes betű 4 előfordulása a 8. ábra 7-eseinek elrendezéséből állt elő forgatással, tükrözéssel. A 8. ábrán a=1, b=2, c=3, d=4 és x=7, y=6, z=5, u=1.
10. ábra
|