Kezdőlap


Feladat:	1335. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sallay Ágnes
Füzet:	1976/szeptember, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Vetítések, Körülírt kör, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/november: 1335. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) Az $E$ vetület a körülírt $k$ kör $A D$ húrja mint átmérő fölötti $k_{1}$ Thalész-körön keletkezik, jobban körülhatárolva, $k_{1}$ -nek a rövidebbik $D F$ ívén, ahol $F$ az $A B$ oldal felezőpontja. Ez az ív $k$ belsejében van, hiszen $k$ és $k_{1}$ metszéspontjai $D$ és $A$ , ezért $E$ az $A C$ húrnak belső pontja.
$C D'$ felezi az $A C B$ szöget, ezért a rá merőleges $C D$ egyenes felezi a háromszög $C$ -nél levő külső szögeit, így a $C A$ , $C B$ egyenesek egymás tükörképei $C D$ -re mint tengelyre. Ezért $B$ -nek ebben a tükrözésben keletkezett $B_{1}$ képe $A C$ -nek $C$ -n túli meghosszabbításán van, és $C B_{1} = C B$ .

Így

C B B_{1}

egyenlő szárú háromszög, és

\begin{matrix} A B_{1} B ∢ = C B_{1} B ∢ = \frac{1}{2} A C B ∢ = \frac{1}{2} A D B ∢, \end{matrix}

vagyis az

A B

szakaszt feleakkora szögben látjuk

B_{1}

-ből, mint

D

-ből. És mivel még

D A = D B

, azért

B_{1}

rajta van a

D

körüli,

D A

sugarú körön, és

E

mint

D

-nek

A B_{1}

-en levő vetülete felezi ezt a húrt:

\begin{matrix} A E = E B_{1} = E C + C B, \end{matrix}

amint a feladat állítja. Szavakban:

A

-ból

C

-n át

B

-be menve, az út felét

E

-ig tettük meg.
b) Legyen

D

-nek

B C

-n levő vetülete

E^{*}

, továbbá

D'

-nek

A C

-n,

B C

-n levő vetülete rendre

E'

E'^{*}

. Így

E^{*}

E

tükörképe

C D

-re;

E'^{*}

E^{*}

képe a

B C

húr felező merőlegesére nézve, hiszen ez átmegy

k

középpontján, másrészt

D

és

D'

egymás képei

O

-ra. Hasonlóan

E'

és

E

egymás képei az

A C

húr felező merőlegesére, végül

E'

és

E'^{*}

tükrös pár

C D'

-re, mert ez felezi a

B C A

szöget. Ezek szerint

\begin{matrix} C E = C E^{*} = B E'^{*} = A E' . \\ B E^{*} = B C + C E^{*} = B C + C E = A E = E' C, és B E^{*} = C E'^{*}, \\ B E^{*} + E^{*} C = A E + E C = C A, \\ B E'^{*} + E'^{*} C = C A, \end{matrix}

tehát

A

-ból

C

-n és

E^{*}

-on át

B

-be menve az út felezőpontja

C

, valamint akkor is

C

van a félúton, ha

A

-ból

C

-n és

E'^{*}

-on áthaladva,

B

-ben fejezzük be utunkat.

E'

-nek csak mesterkéltebben tudunk efféle jelentést tulajdonítani a bizonyított állításból adódó

\begin{matrix} E' C = A E' + C B \end{matrix}

egyenlőség alapján: ha ketten utaznak

A

-ból

C

-n át

B

-be, és a két férőhely egyike kényelmesebb, akkor ‐ helyüket

E'

-ben és

C

-ben cserélve ‐ egyenlő hosszú utat tesznek meg a kényelmesebb helyen.

II. megoldás. (csak a feladat állító részére). Hosszabbítsuk meg

D E

-t a körrel való

G

metszéspontig. Így

D' D G ∢ = B A C ∢

mint merőleges szárú hegyesszögek, egyszersmind kerületi szögek, ezért a

B C

ív és húr egyenlő a

D' G

ívvel, illetve húrral.
Másrészt ‐ mivel

D D'

átmérő, azért

D' G ⊥ D G ⊥ A C

, tehát

D' G

és

A C

párhuzamos húrok, a közös felező merőlegesükre

E

és

E'

tükrösek:

A E' = C E

, továbbá

E' E = D' G = B C

. Így pedig

\begin{matrix} A E = A E' + E' E = E C + C B . \end{matrix}

Sallay Ágnes (Eger, Gárdonyi G. Gimn. volt tanulója)

Megjegyzés. A feladat fogalmazási hibájára egyedül Lánczi Katalin (a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimn. volt tanulója) mutatott rá. Feltehetően egy ,,nem szokványos'' (

A

B

az alsó félkörön,

C

följebb, de még mindig az alsó félkörön) és egy szokványos helyzetfelvétel összehasonlításából vette észre, hogy mire is gondolhatott a szerkesztőség. Szűrjük le ebből tanulságul: merjünk fölvenni ,,szokatlan'' helyzeteket is (lásd az ábra két változatát).