Feladat: 1332. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1971/április, 168 - 170. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Permutációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/november: 1332. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. 1. A választ két lépésben adjuk meg, előkészítésül azokat a lehetőségeket soroljuk föl, ahogyan a 8 gyümölcsöt 4 egyforma tányérra rendezhetjük, mindegyikre 2 db gyümölcsöt téve. Mondjuk ki rendezési elvnek, hogy a tányérokat egymás után rakjuk tele, és ha ennek során a folytatásra több módot látunk, akkor ezeket úgy soroljuk egymás után, hogy előbb abból a gyümölcsből teszünk a soron következő tányérra, amelyikből éppen a legkevesebb van; ha pedig több gyümölcsfajta ilyen, akkor kezdő betűik rendjében haladunk. A gyümölcsöket kezdő betűjükkel jelöljük.
Az első tányér megtöltési lehetőségei:

 

α)a,b,β)a,sz,γ)a,k,
 
és az α) esetben az első két tányéron a következő 2 helyzetet hozhatjuk létre:
 
α1)a,b,b,sz;α2)a,b,b,k.
Az előbbi helyzet egyértelműen az alábbi táblázat (I) elrendezésére vezet, az utóbbit viszont kétféleképpen fejezhetjük be, mert k-ból és sz-ből egyaránt 2‐2 db van hátra: az utolsó két tányér mindegyikére vagy csak egyféle gyümölcsöt téve, vagy vegyesen: (II) és (III). (Egyszerűség kedvéért egy-egy betűpár tagjai közé tovább nem teszünk vesszőt.)
A β) elindulás folytatásait (I)‐(III)-ból a b, sz betűk fölcserélésével kapjuk, hiszen a készletbeli létszámuk egyenlő, ezek a (IV)‐(VI) elrendezések, amazoktól nyilvánvalóan különbözők, és mivel az első három különböző, azért az utóbbi három is az.
Elveinket γ)-ra alkalmazva a (VII)‐(XI) tányérbetöltéseket kapjuk.
 


(I)ab,bsz,szk,kk; (IV)asz,szb,bk,kk; (VII)ak,bb,kk,szsz;(II)ab,bk,kk,szsz;(V)asz,szk,kk,bb;(VIII)ak,bb,ksz,ksz;(III)ab,bk,ksz,ksz;(VI)asz,szk,kb,kb;(IX)ak,bk,bk,szsz;(X)ak,bk,bsz,ksz;(XI)ak,bsz,bsz,kk.  
 

2. Az (I), (II), (IV), (V), (VII) és (X) elrendezésekben nincs két egyformán megrakott tányér, a többi ötben 2-2 egyformán megrakott tányér fölcserélése nem vehető észre. Az előbbi 6 elrendezésben az első tányérhoz (adaghoz) 4-féleképpen választhatjuk meg, melyik lánynak adjuk, a második tányérhoz a maradó lányok közül 3-, a harmadikhoz 2-féleképpen választhatjuk a gazdáját, a negyedik tányért pedig egyértelműen az kapja, akinek még nem adtunk. Így mind a 6 esetből 4⋅3⋅2=24 kiosztásmódot kapunk, együtt 144-et.
A további 5 elrendezésben is elgondolva az iménti 24‐24 kiosztásmódot, ezek párosával egyező eredményt adnak, azaz csak 12 különböző, hiszen pl. ha (III) szerint a 3. tányért Cilinek, a 4.-et Dórának adtuk, nem változik a kiosztás, ha e két (megkülönböztethetetlen) adagot fölcseréljük köztük.
Eszerint a 2‐2 egyező adagot tartalmazó 5 elrendezés 5⋅12=60 kiosztásmódot ad, és a feladat kérdésére a válasz: 144+60=204 különböző kiosztás lehetséges.
 

Megjegyzések. 1. Egy más elindulás az (I)‐(XI) elrendezések összeállítására: a 3 db körte vagy 2, vagy 3 különböző tányérba kerül. Az előbbi változatban a tovább osztandó darabszámok 1, 2, 1, 2, fenti elvünkkel ak, bb, szsz (VII), ak, bsz, bsz (XI); ab, bk, szsz (II); ab, bsz, ksz (I); és (b, sz cserével) asz, ksz, bb (V); asz, kb, szb (IV); adódnak. A második változatban a még üres tányérra az 1, 2, 0, 2 készletből 5-féleképpen választhatunk: ab (III); asz (VI); bb (VIII); bsz (X); szsz (IX), a maradó 3 gyümölcsöt pedig tetszés szerint tehetjük egyesével az 1‐1 körtéjük révén még egyenrangú (meg nem különböztetett) tányérokra.
 

2. Rendszerezhetünk aszerint is, hogy 3, 2, 1 vagy 0 olyan adagot készítünk, amelyben csak egyféle gyümölcs van; a csoportokba 1, 2, 5 és 3 elrendezés jut.