Kezdőlap


Feladat:	1331. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/május, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Paraméteres egyenletrendszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/november: 1331. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Feltesszük, hogy (1) és (2) teljesült egy bizonyos $x$ , $y$ , $z$ , $a$ értékrendszerrel, így (2) szerint az értékek egyike sem $0$ . Szorzatukkal szorozva (2)-t, és $0$ -ra redukálva, tovább alakítva

\begin{matrix} a z (y + x) + a x y - x y z = a z (a - z) + x y (a - z) = (a - z) (a z + x y) = 0, \end{matrix}

(3)

ugyanis az első alakban zárójelbe tett összeg (1) alapján egyenlő

a - z

-vel.
Az utolsó alak második tényezőjében

z

-t ismét (1) alapján kiküszöbölve, a tényezőt szorzattá alakíthatjuk:

\begin{matrix} a z + x y = a (a - x - y) + x y = a^{2} - (x + y) a + x y = (a - x) (a - y), \end{matrix}

és evvel (3) így alakul:

\begin{matrix} (a - z) (a - x) (a - y) = 0, \end{matrix}

(4)

tehát a

3

tényező közül legalább egynek

0

az értéke és ez bizonyítja az állítást.

Megjegyzések. 1. A végzett ekvivalens átalakításokat fordított sorrendben végezve látható, hogy az állítás megfordítható: ha (1) és (2) közül az egyik teljesül, továbbá

x

y

z

közül legalább az egyik egyenlő

a

-val, azaz teljesül (4), végül

x

y

z

és

a

egyike sem

0

(amit csak akkor kell mondani, ha (1)-ről tudjuk, hogy teljesül), akkor (1) és (2) másik egyenlősége is teljesül.
2. Legföljebb kettő lehet

a

-val egyenlő

x

y

és

z

közül, mert ha pl.

a - z = a - x = 0

, azaz

x = z = a \neq 0

, akkor (1) alapján

y = - a

és

a - y = 2 a \neq 0

II. megoldás. Ismét feltesszük, hogy (1) és (2) teljesül egy bizonyos

x

y

z

a

értékrendszerrel, és tekintjük azt a harmadfokú egyenletet, melynek a gyökei az

x

y

z

számok:

\begin{matrix} (U - x) (U - y) (U - z) = 0. \end{matrix}

A gyökök és együtthatók ismert összefüggései¹ alapján (vagy közvetlenül, a beszorzást elvégezve) látható, hogy ez az egyenlet

\begin{matrix} U^{3} + p U^{2} + q U + r = 0 \end{matrix}

alakban is felírható, ahol

\begin{matrix} p = - (x + y + z), q = x y + y z + z x, r = - x y z . \end{matrix}

Itt (1) szerint

p = - a

, és (2) szerint

- q / r = 1 / a

, azaz

r = - a q

, így egyenletünk újabb lehetséges alakja

\begin{matrix} U^{3} - a U^{2} + q U - a q = U^{2} (U - a) + q (U - a) = (U^{2} + q) (U - a) = 0. \end{matrix}

(1) és (2) felhasználása alapján ennek az

x

y

z

számok a gyökei. Az újabb szorzattá alakítás szerint viszont az

U = a

érték is gyök. Ez csak úgy lehet, ha

a

egyenlő az

x

y

z

számok egyikével.

¹Lásd pl. Hack Frigyes: Függvénytáblázatok, matematikai összefüggések, Tankönyvkiadó, Budapest, 1967, 60. old. 251. 331‐334. jelzőszámú összefüggések.