Feladat: 1327. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kiss János 
Füzet: 1972/február, 66 - 67. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/október: 1327. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha ismerjük három szakasz hosszainak kölcsönös nagyságviszonyát, akkor ezeknek csak egyetlen föltételt kell teljesíteniük ahhoz, hogy belőlük háromszöget szerkeszthessünk : legnagyobbikuknak kisebbnek kell lennie a másik kettő összegénél (a többi egyenlőtlenség ebből már következik). Válasszuk esetünkben úgy a betűzést, hogy álljon

(0<)a≦b≦c,(1)
ekkor az eredeti háromszög létezéséből következik :
c<a+b.(2)

A számvonal pozitív oldalát az a, b, c számokat ábrázoló pontok legföljebb 4 részre osztják : 3 szakaszra és egy végtelen félegyenesre. Megmutatjuk, hogy bármelyik részben van is a d szám képe, az a1, b1, c1 szakaszokból mindig lehet háromszöget szerkeszteni. Mindenekelőtt nyilvánvaló, hogy (1) és d>0 alapján teljesül :
 


(0<)a1≦b1≦c1,
így azt kell belátnunk, hogy
c1<a1+b1.(3)

I. Ha mármost d képe az I. félegyenesen vagy a kezdőpontjában van, azaz d≧c, akkor a1=a, b1=b, c1=c, így pedig (3) azonos a (2)-vel.
 

II. ha b≦d<c, akkor (2)-ben csak a bal oldal helyére írunk kisebbet, tehát teljesül.
 

III. Az a≤d<b esetben (2) így alakul: d<a+d, ami nyilvánvalóan teljesül.
 

IV. Végül (0<)d<a esetén a1, b1, c1 egyenlő oldalú háromszög.
Amennyiben (1)-ben az első vagy a második jel‐pár helyén egyenlőség áll, akkor a III., ill. II. szakasz hossza 0, az a része meggondolásunknak fölöslegessé válik. Ezzel megkaptuk a választ: az a1, b1, c1 szakaszokból mindig szerkeszthető háromszög.
 

Kiss János (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)
 

Megjegyzés. Tulajdonképpen nincs szükség az I‐IV. esetek részletes vizsgálatára (3) bizonyításához: ha (3) jobb oldala megegyezik (2) jobb oldalával, akkor (3) igaz, mert a bal oldalán álló c1 nem lehet nagyobb a (2) bal oldalán álló c-nél : ha (3) jobb oldala eltér (2) jobb oldalától, akkor a1, b1 közül legalább az egyik d-vel egyenlő, ámde akkor c1=d és így (3) nyilvánvalóan igaz.