Kezdőlap


Feladat:	1325. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szerényi Tibor
Füzet:	1971/május, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/október: 1325. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $\bar{x_{n} x_{n - 1} ... x_{1} x_{0}}$ szám az $a$ alapú számrendszerben az

\begin{matrix} A_{n} = x_{n} a^{n} + x_{n - 1} a^{n - 1} + ... + x_{1} a + x_{0} = x_{n} a^{n} + A_{n - 1} \end{matrix}

számot jelenti. Ugyanígy

B_{n} = x_{n} b^{n} + B_{n - 1}

. Az (1)-ben szereplő négy szám mindegyike pozitív, így a két tört is, ezért (1) akkor és csak akkor áll fönn, ha reciprok értékükre

\begin{matrix} \frac{A_{n}}{A_{n - 1}} > \frac{B_{n}}{B_{n - 1}} \end{matrix}

teljesül, azaz

\begin{matrix} (\frac{x_{n} a^{n}}{A_{n - 1}} + 1) - (\frac{x_{n} b^{n}}{B_{n - 1}} + 1) = \frac{x_{n}}{A_{n - 1} B_{n - 1}} (a^{n} B_{n - 1} - b^{n} A_{n - 1}) > 0, \end{matrix}

tehát ha a zárójelbeli kifejezés pozitív, hiszen a kiemelt tényező pozitív. Ezt az előforduló

x_{n - 1}

(\neq 0)

x_{n - 2}, ..., x_{0}

számjegyek szerint rendezve, majd a lehetséges kiemelésekkel

\begin{matrix} x_{n - 1} (a^{n} b^{n - 1} - b^{n} a^{n - 1}) + x_{n - 2} (a^{n} b^{n - 2} - b^{n} a^{n - 2}) + ... + \\ + x_{1} (a^{n} b - b^{n} a) + x_{0} (a^{n} - b^{n}) > 0. \\ x_{n - 1} a^{n - 1} b^{n - 1} (a - b) + x_{n - 2} a^{n - 2} b^{n - 2} (a^{2} - b^{2}) + ... + & (2) \\ + x_{1} a b (a^{n - 1} - b^{n - 1}) + x_{0} (a^{n} - b^{n}) > 0. \end{matrix}

Ha mármost

a ≦ b

állna, akkor az utolsó alak egyetlen tagja sem lehetne pozitív, így az összegük sem. Tehát ha (1) és vele együtt (2) fennáll, akkor

a > b

.
Fordítva, ha

a > b

, akkor (2) bal oldalának első tagja pozitív, a továbbiak egyike sem negatív, tehát a bal oldal pozitív, így pedig a (2)-re vezető ekvivalens átalakításokat fordított sorrendben végrehajtva (1)-re jutunk vissza. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Szerényi Tibor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)