Kezdőlap


Feladat:	1321. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: 1321. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott egyeneseket $e$ -vel és $f$ -fel, az $A B$ szakasz felezőpontja pedig legyen $P$ , ez az $A B$ szakasz mozgása során helyben marad. Mivel $P$ felezi az $A B$ szakaszt, egyenlő távolságra kell lennie $e$ -től és $f$ -től. A vizsgált háromszög $A$ , $B$ csúcsát egy tetszőleges, a $P$ -n átmenő $g$ egyenessel metszhetjük ki az $e$ , $f$ egyenesekből (1. ábra).

1. ábra

A háromszögnek az adott egyenesekre merőleges oldala vagy

A

-n, vagy

B

-n megy át, ennek megfelelően

C

, vagy az

A

-n átmenő,

e

-re merőleges

a

egyenesen, vagy a

B

-n átmenő,

f

-re merőleges

b

egyenesen van. A háromszögnek ehhez az oldalhoz tartozó magassága egyenlő az

a

b

egyenesek távolságával,

d

-vel. Ha

C

a

-n van, akkor

A C = d

, tehát

C

A

-tól

d

távolságra levő

C_{1}

C_{2}

pontok egyike lehet

a

-n, ha pedig

C

b

-n van, akkor hasonlóan kapjuk a

B

-től

d

távolságra levő lehetséges

C_{3}

C_{4}

pontokat. Ha tehát a

g

egyenest megválasztjuk,

C

-t négy pont közül választhatjuk. Kivételt képez az az eset, amikor

g

merőleges az adott egyenesekre, ekkor ugyanis

d = 0

, tehát nem jön létre megfelelő háromszög.
Legyen

P

vetülete

e

-n

Q

f

-en

R

, és tekintsük egy tetszőleges

g

egyenes mellett a fentiek szerint kapott

A C_{1} Q

háromszöget: ebben

A

-nál derékszög van, és

A Q = \frac{A C_{1}}{2} = \frac{d}{2}

. Jelöljük a

Q C_{1}

egyenes és

f

metszéspontját

R_{1}

-gyel. Az

R_{1} R Q

Q A C_{1}

háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik egyenlőek, tehát

R_{1} R = Q R / 2 = P R

. A

Q C_{1}

egyenes tehát nem függ

g

megválasztásától.
Hasonlóan kapjuk, hogy

Q C_{2}

és

f

metszéspontja,

R_{2}

továbbá

R C_{3}

, illetve

R C_{4}

és

e

metszéspontja,

Q_{1}

, illetve

Q_{2}

helyzete nem függ

g

választásától, ugyanis

R R_{2} = Q Q_{1} = Q Q_{2} = P R

. A

C

pont tehát rajta van a

Q R_{1}

Q R_{2}

R Q_{1}

R Q_{2}

egyenesek egyikén (2. ábra).

2. ábra

Megmutatjuk, hogy a vizsgált mértani hely e négy egyenes együttese, kivéve belőle a

Q

és

R

pontokat. Legyen ugyanis

C

e négy egyenes valamelyikének

Q

-tól és

R

-től különböző pontja, legyen

C

mondjuk a

Q R_{1}

egyenesen. Legyen

C

vetülete

e

-n

A

A

-nak

P

-re vonatkozó tükörképe legyen

B

. Az

A Q C

R R_{1} Q

háromszögek hasonlósága miatt

2 A Q = A C

és

2 A Q

egyenlő az

A B C

háromszög

A C

oldalához tartozó magasságával. Az

A B C

háromszög tehát eleget tesz feladatunk követelményeinek.
Hasonlóan látható be állításunk helyessége, ha

C

Q R_{2}

egyenesen van; ha pedig

C

R Q_{1}

vagy

R Q_{2}

egyenesen van, akkor legyen

B

C

vetülete

f

-en,

A

pedig

B

-nek

P

-re vonatkozó tükörképe, és fenti meggondolásunk ennek megfelelően megismételhető.