A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egy szám akkor és csak akkor osztható 33-mal ‐ ami , és itt 3 és 11 relatív prímek ‐, ha mind 3-mal, mind 11-gyel osztható. A 3-mal való oszthatóság szükséges és elegendő feltétele, hogy a számjegyek összege többszöröse legyen 3-nak. Az adott szám jegyeinek összege osztható 3-mal, így a hozzáírt számjegy csak 0, 3, 6 vagy 9 lehet. Egy szám 11-gyel akkor és csak akkor osztható, ha a (jobbról számítva) páratlan sorszámú helyeken levő számjegyeinek összegéből a páros sorszámú helyen levő jegyek összegét levonva 11 többszörösét kapjuk. A mondott különbséget úgy is képezhetjük, hogy a jegyeket jobbról bal felé váltakozva és előjellel vesszük és összeadjuk; esetünkben: adott számunk eszerint nem osztható 11-gyel. (Az is igaz, hogy 11-gyel osztva annyit ad maradékul, mint a kapott összeg, vagyis 9-et.) Ebből rögtön látjuk, hogy számunk elejére egy 9-est írva beáll a 11-gyel való oszthatóság, hiszen a soron következő előjel mínusz, és . A talált 9-es a 3-mal való oszthatóságot is biztosítja, tehát egy megfelelő szám: Ez úgy is tekinthető, hogy adott számunk (balról) első két jegye közé írtunk 9-est. Más számjegy a tekintett helyeken nem felelhet meg, mert nincs olyan két számjegy, amelyek különbsége 11. A jobb szélső helyre az számjegyet írva a váltakozó előjellel vett összeg , hiszen (1) bal oldalán minden egyes előjel a másik jelbe vált át, tehát ugyanez áll az összegre. Itt ismét csak teszi 11-gyel oszthatóvá az összeget, tehát egy újabb megoldás: A hátra levő 7 hely vizsgálatát gépiessé tehetjük úgy, hogy minden egyes helyig fölírjuk külön a tőle jobbról levő és külön a balra levő jegyekből adódó összeget (az utóbbit mínusz jellel kezdve, mert jegy-beiktatással a bal szélső jegy sorszáma 10 lesz, azaz páros) ‐, ebben helyről helyre csak az egy új vagy elhagyott jegy okozta változást kell tekinteni ‐, majd a két összeg összegéhez megkeressük a 0-ra, -re, -re ... kiegészítő számjegyet.
(a balra levő jegyösszeg -5-tel változott, a jobbra levő szintén, mert elmaradt a végéről a +5-ös tag)
3-as és 1-es közé: (-4)-x+(+5)=-x+1, x=1; 1-es és 2-es közé:(-5)+x+(+4)=x-1,x=1; 2-es és 4-es közé:(-3)-x+(+6)=-x+3,x=3; 4-es és 6-os közé:(-7)+x+(+2)=x-5,x=5; 6-os és 8-as közé:(-1)-x+(+8)=-x+7,x=7. Ezek szerint csak a 2-es és 4-es közé iktatott 3-as teszi még 33-mal oszthatóvá az adott számot: Összefoglalva: az előírt módon 4-féle beiktatással 3 megfelelő számot lehetett előállítani. |