Kezdőlap


Feladat:	1319. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1971/január, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: 1319. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy szám akkor és csak akkor osztható 33-mal ‐ ami $3 \cdot 11$ , és itt 3 és 11 relatív prímek ‐, ha mind 3-mal, mind 11-gyel osztható. A 3-mal való oszthatóság szükséges és elegendő feltétele, hogy a számjegyek összege többszöröse legyen 3-nak. Az adott szám jegyeinek összege osztható 3-mal, így a hozzáírt számjegy csak 0, 3, 6 vagy 9 lehet.
Egy szám 11-gyel akkor és csak akkor osztható, ha a (jobbról számítva) páratlan sorszámú helyeken levő számjegyeinek összegéből a páros sorszámú helyen levő jegyek összegét levonva 11 többszörösét kapjuk. A mondott különbséget úgy is képezhetjük, hogy a jegyeket jobbról bal felé váltakozva $+$ és $-$ előjellel vesszük és összeadjuk; esetünkben:

\begin{matrix} 8 - 6 + 4 - 2 + 1 - 3 + 5 - 7 + 9 = 9, \end{matrix}

(1)

adott számunk eszerint nem osztható 11-gyel. (Az is igaz, hogy 11-gyel osztva annyit ad maradékul, mint a kapott összeg, vagyis 9-et.)
Ebből rögtön látjuk, hogy számunk elejére egy 9-est írva beáll a 11-gyel való oszthatóság, hiszen a soron következő előjel mínusz, és

9 - 9 = 0 = 0 \cdot 11

. A talált 9-es a 3-mal való oszthatóságot is biztosítja, tehát egy megfelelő szám:

\begin{matrix} 9 9 7 5 3 1 2 4 6 8. \end{matrix}

Ez úgy is tekinthető, hogy adott számunk (balról) első két jegye közé írtunk 9-est. Más számjegy a tekintett helyeken nem felelhet meg, mert nincs olyan két számjegy, amelyek különbsége 11.
A jobb szélső helyre az

x

számjegyet írva a váltakozó előjellel vett összeg

x - 9

, hiszen (1) bal oldalán minden egyes előjel a másik jelbe vált át, tehát ugyanez áll az összegre. Itt ismét csak

x = 9

teszi 11-gyel oszthatóvá az összeget, tehát egy újabb megoldás:

\begin{matrix} 9 7 5 3 1 2 4 6 8 9. \end{matrix}

A hátra levő 7 hely vizsgálatát gépiessé tehetjük úgy, hogy minden egyes helyig fölírjuk külön a tőle jobbról levő és külön a balra levő jegyekből adódó összeget (az utóbbit mínusz jellel kezdve, mert jegy-beiktatással a bal szélső jegy sorszáma 10 lesz, azaz páros) ‐, ebben helyről helyre csak az egy új vagy elhagyott jegy okozta változást kell tekinteni ‐, majd a két összeg összegéhez megkeressük a 0-ra,

\pm 11

-re,

\pm 22

-re ... kiegészítő

x

számjegyet.

\begin{matrix} a 7-es és 5-ös közé: & (- 9 + 7) - x + (8 - 6 + 4 - 2 + 1 - 3 + 5) \\ röviden: & (- 2) - x + (+ 7) = - x + 5, & x = 5; \\ 5-ös és 3-as, közé: & (- 7) + x + (+ 2) = x - 5, & x = 5; \end{matrix}

(a balra levő jegyösszeg

- 5

-tel változott, a jobbra levő szintén, mert elmaradt a végéről a

+ 5

-ös tag)

\begin{matrix} 3-as és 1-es közé: & (- 4) - x + (+ 5) = - x + 1, & x = 1; \\ 1-es és 2-es közé: & (- 5) + x + (+ 4) = x - 1, & x = 1; \\ 2-es és 4-es közé: & (- 3) - x + (+ 6) = - x + 3, & x = 3; \\ 4-es és 6-os közé: & (- 7) + x + (+ 2) = x - 5, & x = 5; \\ 6-os és 8-as közé: & (- 1) - x + (+ 8) = - x + 7, & x = 7. \end{matrix}

Ezek szerint csak a 2-es és 4-es közé iktatott 3-as teszi még 33-mal oszthatóvá az adott számot:

\begin{matrix} 9 7 5 3 1 2 3 4 6 8. \end{matrix}

Összefoglalva: az előírt módon 4-féle beiktatással 3 megfelelő számot lehetett előállítani.