Kezdőlap


Feladat:	1318. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1971/február, 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: 1318. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tízes számrendszerben $\bar{A B} = 10 A + B$ és $\bar{B A A} = 100 B + 11 A$ , feladatunk szerint

\begin{matrix} A (10 + B) = 100 B + 11 A, \end{matrix}

(1)

vagyis

\begin{matrix} A (B - 1) = 10 (10 B + A - A^{2}) . \end{matrix}

(2)

Itt a jobb oldal osztható

10

-zel, tehát

A (B - 1)

10

-zel osztható. Mivel

A

és

B - 1

kisebb

10

-nél, ez csak úgy lehet, ha az egyik tényező

0

, vagy ha a tényezők egyike

2

-vel, a másik tényező pedig

5

-tel egyenlő.

A

nem lehet

0

, hiszen

\bar{A B}

valódi kétjegyű szám, ha pedig

B - 1 = 0

, akkor (2) alapján

\begin{matrix} A^{2} - A = A (A - 1) = 10 \end{matrix}

lenne, ami nem ad megoldást, hiszen a

10

nem állítható elő két szomszédos egész szám szorzataként.
Ha

A = 5

, akkor (1)-ből

B

-re

\frac{39}{19}

-et kapunk, ami feladatunknak nem megoldása, hiszen nem egész. Ha

B - 1 = 5

, akkor (1)alapján

\begin{matrix} A^{2} = 60 + \frac{A}{2} . \end{matrix}

Itt a jobb oldal

60

és

65

között van, tehát a természetes számok körében csak

A = 8

lehet megoldás, és behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy ez

B = 6

-tal együtt valóban megoldás

8 \cdot 86 = 688

.
Tehát a feladat egyetlen megoldása:

A = 8

B = 6

. (Megoldásunkban nem használtuk fel a feladatnak azt a feltételét, hogy az

A

B

számjegyek különbözőek legyenek.)