Kezdőlap


Feladat:	1317. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/március, 112 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Csillagászati, földrajzi feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: 1317. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az idézett helyen példát látunk arra (más betűzéssel), hogy ha a $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ pontok egy konvex négyszög egymás utáni csúcsai, akkor hogyan állapítható meg a pontokat összekötő, minimális összhosszúságú útrendszer. A négyszög $P Q$ , $Q R$ , $R S$ , $S P$ oldala fölé, kifelé szabályos háromszöget szerkesztünk, ezek új csúcsai rendre $P'$ , $Q'$ , $R'$ , $S'$ (1. ábra).

1. ábra

Ekkor a mondott útrendszer összhossza egyenlő a

P' R'

és

Q' S'

távolságok kisebbikével. Ha ez

P' R'

‐ azaz

P' R' ≦ Q' S'

‐, akkor a minimális útrendszer két hármas csomópontját,

T

-t és

U

-t megadta a

P' R'

szakasznak rendre a

P Q P'

és az

R S R'

háromszög köré írt körrel való metszéspontja, és az útrendszer a

P T

Q T

U R

U S

egyenesszakaszokból áll. (Így ugyanis a szabályos háromszögre ismert tétel szerint ‐ amennyiben a mondott körökben

T

a rövidebbik

P Q

íven, ill.

U

a rövidebbik

R S

íven adódik, fennáll

P T + Q T = P' T

, ill.

R U + S U = R' U

; persze azt is figyelembe vettük, hogy

T P' ≦ U P'

volt.)

Ez az eredmény alkalmazható oázisaink pontnégyesére, és a megfelelően szerkeszthető

A' C'

és

B' D'

távolságok egyenlők, mert egymás tükörképei az

A B C D

rombusz

A C

és

B D

átlóira; ezért az útrendszert elég

A' C'

-ből kiindulva terveznünk (2. ábra).

2. ábra

Nyilvánvaló, hogy

A'

D A

C'

pedig a

B C

rombuszoldal meghosszabbításán van, és

D A' = B C' = 2 A B

, tehát

A' B C' D

paralelogramma és

A' C'

átlója átmegy a rombusz

O

középpontján. Az

O

-ra való tükrözés egymásba viszi át

A

-t és

C

-t, hasonlóan

B

-t és

D

-t, így az építési költség felosztásában

A

és

C

része egyenlő, hasonlóan

B

-é és

D

-é is, elég tehát megállapítanunk

A

és

B

hozzájárulásának arányát.
Legyen az

A B A'

és a

C D C'

körnek

A' C'

-n levő pontja rendre

E

F

és jelöljük az

A E

B E

E F = 2 E O

szakasz hosszát rendre

a

-val,

b

-vel,

c

-vel. Így

A

egy lakója

(4 a + 2 b + 2 c)

utat tesz meg, ha egyszer‐egyszer elmegy a másik 3 oázisba,

B

egy lakója pedig

2 a + 4 b + 2 c

utat.
Az

O A A'

háromszög hasonló az

O E A

háromszöghöz, mert

O

-nál levő szögük közös és

A

-nál, ill.

E

-nél

120^{\circ}

-os szögük van

(O A A' ∢ = O A B ∢ + B A A' ∢ = 2 \cdot 60^{\circ}

és

O E A ∢ = 180^{\circ} - A' E A ∢ = 180^{\circ} - A' B A ∢ = 120^{\circ}

, hiszen

A' B E A

húrnégyszög). És mivel e két háromszög egy pár megfelelő oldalára

A A' = A C = 2 \cdot A O

, azért a nagyítási arány

2 : 1

, tehát

E A = a = 2 \cdot E O = E F = c

. Hasonlók az

O A A'

és

A E B

háromszögek is, mert az utóbbiban

A E B ∢ = 180^{\circ} - A A' B ∢ = 120^{\circ}

, és a

B

-nél levő szög ugyanazon az

A E

íven nyugszik, mint az

A A' E

szög; ezért

b = E B = 2 \cdot E A = 2 a

.
Ezek szerint

A

és

B

részesedési aránya

10 a : 12 a = 5 : 6

A

és

C

egyenként

5 / 22

részt,

22, 7 %

-ot,

B

és

D

egyenként

6 / 22 = 3 / 11

részt,

27, 3 %

-ot viselnek a költségekből.

Megjegyzések. 1. Az Ibrahim által javasolt útrendszer hossza, mint könnyen kiszámítható,

15 \sqrt[]{7} = 39, 69

km, valóban rövidebb a Hasszán által javasolt

15 (1 + \sqrt[]{3}) = 40, 98

km-nél, méginkább az Ali‐javasolta

3 \cdot 15 = 45

km-nél. ‐ Az érkezett megoldások kiszámították az összes részutak hosszát. Ez természetesen nem hiba ‐ bizonyára elvégezték ezt a tervező mérnökök is ‐, de a kérdés megválaszolásához ‐ mint láttuk ‐ elkerülhető.

2. Könnyű belátni, hogy az

E O

E A

E B

útszakaszok egyszersmind megadják az

O

A

B

pontok közti, minimális összhosszúságú útrendszert is. Ez tehát abban az

E

pontban fut össze, ahonnét az

O A

A B

B O

szakaszok mindegyike

120^{\circ}

-os szögben látható. ‐ Megemlítjük, hogy ha egy háromszög legnagyobbik szöge nem éri el a

120^{\circ}

-ot, akkor mindig van ilyen pont a háromszög belsejében (szokás nevezni a háromszög Torricelli‐féle pontjának). Ha viszont egy

G H J

háromszögben a

G

-nél levő szög

120^{\circ}

-os, vagy nagyobb, akkor a minimális összhosszúságú útrendszer a

G H

és

G J

szakaszokból áll.
3. A bevezetésül idézett példa természetesen nem jelenti a problémának 4 pont esetére való teljes megoldását. Az 1. ábráról sejtjük, hogy

P' R'

-nek

P

és

Q

között, valamint

R

és

S

között kell haladnia, másrészt a meggondolás érvényességének

P' T ≦ P' U

is feltétele.