Kezdőlap


Feladat:	1316. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fodor Éva
Füzet:	1971/november, 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: 1316. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott egyenes $e$ , a pontok $A$ és $B$ , egy az $A$ -n és $B$ -n átmenő kör $k$ , és ennek $e$ -vel közös pontjai $E$ , $F$ .

Az utóbbi két pont létezik és egymástól különböző, mert

e

A

-t és

B

-t szétválasztja, tehát

k

-t is két ívre vágja szét. Így

A B

és

E F

, mint

k

húrjai, metszik egymást egy

M

belső pontjukban, és ismert tétel szerint ^{$^{*}$}

M E \cdot M F = M A \cdot M B

. Itt

M

helyzete és a jobb oldal értéke független

k

megválasztásától, tehát ugyanez áll a bal oldal értékére is. ‐ A feladat szerint úgy kell megválasztanunk

k

-t, hogy

E F = E M + M F

értéke a lehető legkisebb legyen.
Alkalmazzuk a pozitív számok mértani és számtani közepének nagyságviszonyára ismert tételt

E F

két darabjára. A fentieket is felhasználva

\begin{matrix} E F = 2 \cdot \frac{E M + F M}{2} \geq 2 \sqrt[]{E M \cdot M F} = 2 \sqrt[]{M A \cdot M B}, \end{matrix}

és a bal oldal akkor és csak akkor nem haladja meg a jobb oldal (állandó) értékét, vagyis értéke akkor a legkisebb, ha a két darab egyenlő,

E M = M F

, tehát

M

felezi az

E F

húrt.
Eszerint a legrövidebb

E_{0} F_{0}

húrt kimetsző

k_{0}

kör

O_{0}

középpontja egyrészt az

M

-ben

e

-re emelt

m_{0}

merőlegesen van, másrészt természetesen az

A B

húr

f

felező merőlegesén, vagyis e két merőleges metszéspontja. Ezzel eljárást is adtunk

k_{0}

megszerkesztésére. Az

O_{0}

metszéspont és

k_{0}

egyértelműen meg vannak határozva, mert

A B

nem párhuzamos

e

-vel, így

m_{0}

és

f

sem párhuzamosak, és

k_{0}

sugara

O_{0} A

Fodor Éva (Makó, József A. Gimn., II. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd pl.: Horvay Katalin‐Pálmay Lóránt: Matematika a gimn. és szakközépisk. II. o. számára. 4. kiadás. Tankönyvkiadó. Budapest. 1970. 175. o. 246. feladat.