Kezdőlap


Feladat:	1315. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burda Magdolna , Faragó Magdolna , Fodor Éva , Gáspár Gy. , Horváth L. , Kirchner I. , Kovács I. , Miseta R. , Nagy Sándor , Pataki B. , Plánka J. , Szeredi J.
Füzet:	1971/április, 164 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: 1315. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A felhasználható tárgyak ‐ körsablonok ‐ különbözőségét a szerkesztés szempontjából úgy értjük, hogy átmérőik különbözők. Ahogyan az egyenes vonalzóval, ugyanúgy ezekkel is elérhetjük, hogy a rajzolt kör átmegy egy vagy két előírt ‐ adott vagy szerkesztett ‐ ponton.
Felhasználjuk a következő segédtételt: ha a $k_{1}$ , $k_{2}$ körök közös pontjai $A$ és $B$ , és $k_{i}$ -t ( $i = 1$ , $2$ ) egy, az $A$ -n átmenő egyenes $A_{i}$ -ben metszi és egy, a $B$ -n átmenő egyenes $B_{i}$ -ben, akkor $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ . Állításunkat az $1$ . ábrán három különböző helyzetben szemléltetjük, mindegyikben $A_{1} ∢ = B ∢ = A_{2} ∢$ , a helyzetnek megfelelő bizonyítást az olvasóra hagyjuk.

1. ábra

A szerkesztést az

1

. ábrának más időbeli sorrendben való kialakításával hajtjuk végre,

P

szerepét

A_{2}

-nek,

e

szerepét az

A_{1} B_{1}

egyenesnek adjuk át. Felveszünk egy, az

e

-t metsző

k_{1}

kört, legyenek közös pontjaik

A_{1}

B_{1}

. Megrajzoljuk a

P A_{1}

egyenest, ennek

k_{1}

-gyel való második metszéspontja

A

. Kört rajzolunk

P

-n és

A

-n át, ez

k_{2}

, és metszéspontja

k_{1}

-gyel

B

, a

B B_{1}

egyenessel

B_{2}

, ekkor

P B_{2} ∥ e

.
Nem használtuk fel, hogy

k_{1}

és

k_{2}

átmérői különbözők, ezért a szerkesztés egyetlen körsablonnal (és az egyenes vonalzóval) is elvégezhető. Azt viszont felhasználtuk, hogy sablonunkkal rajzolható a

P

-n átmenő és

e

-t metsző kör (1a ábra), vagy legalább olyan

k_{2}

kör a

P

-n át, amelynek van közös pontja az

e

-t metsző

k_{1}

-gyel (1b ábra), továbbá hogy egyenes vonalzónk is hosszabb a

P

és

e

közti távolságnál.
Amennyiben eszközeink méretei kicsik a

P

és

e

közti távolsághoz képest, úgy előbb egymás után

e'

e''

...

párhuzamosokat szerkesztünk

e

-vel, amelyek egyre közelebb vannak

P

-hez.

Megjegyzés. Ha nem látjuk biztosítottnak; hogy a sablonnal rajzolt körünk átmegy előírt pontokon ‐ más szóval: ha a sablonnal csak olyan körök rajzolását engedjük meg, amelyek semmiféle külön előírásnak nem tesznek eleget ‐, akkor a szerkesztést visszavezetjük a következőre: adott a

P

pont és a (rajta nem átmenő)

e

és

e'

egymással párhuzamos egyenesek, szerkesztendő

P

-n át az ezekkel párhuzamos egyenes. Ez a szerkesztés ugyanis már kizárólag az egyenes vonalzónkkal végrehajtható.
Evégett úgy vesszük föl

k_{1}

-et, hogy messe

e

-t

A_{1}

-ben és

B_{1}

-ben, majd a

k_{1}

-et metsző

k_{2}

-t, közös pontjaik

A

és

B

, és

k_{2}

-nek

A A_{1}

-gyel és

B B_{1}

-gyel való második metszéspontja

A_{2}

, ill.

B_{2}

, ekkor

A_{2} B_{2}

megfelel a mondott

e'

céljára.

2. ábra

Messe mármost a

P

-n át fölvett

f

és

g

egyenes

e

-t

F

-ben, ill.

G

-ben,

e'

-t

F'

-ben, ill.

G'

-ben és legyen

F G'

és

F' G

metszéspontja

H_{0}

(

2

. ábra), akkor ‐ mint az

1244

. gyakorlat segédtételében^{$^{*}$} láttuk ‐ a

P H_{0}

egyenes

e

-t az

F G

szakasz

H

felezőpontjában metszi, és ha

f

-nek egy további pontja

F''

, továbbá

F'' H

és

P G

metszéspontja

J

és

F'' G

és

F J

metszéspontja

K

, akkor ‐ az idézett segédtétel ugyanott bebizonyított megfordítása szerint ‐

P K ∥ e

. (Mint látjuk, olyan

e'

használható jól ‐ vagyis ad közeli

H_{0}

-t ‐, amelynek

P

-től való távolsága lényegesen különbözik a

P

és

e

közti távolságtól.)

Burda Magdolna (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd K. M. L.

39

(

1969

)

62

. o.